弹塑性有限元方法

第三章等参数单元§3.1等参数单元的概念§3.1.1参数坐标位移是坐标的连续函数，可以用直角坐标来表示：(,)uxy也可以用参数坐标（或叫曲线坐标）来表示：(,)u对四节点任意四边形单元建立参数坐标系：满足映射条件：可设：4141(,)(,)(,)(,)iiiiiixNxyNy12341(,)(1)(1)41(,)(1)(1)41(,)(1)(1)41(,)(1)(1)4NNNN可写成：4141(,)(,)(,)(,)jjjijjiijjjijjiixxNxyyNy则：§3.1.2基于参数坐标的位移模式12341234(,)(,)uv在局部参数坐标系下，建立四边形单元的位移模式：4141(,)(,)(,)(,)iiiiiiuNuvNv也可写成下面的形式：(,)(,)jjjjjjuuvv代入节点位移条件，有：这种单元是满足位移协调条件在单元①上：4(1)242424111(,)(1)(1)22iiiuNuuu4(2)242424111(,)(1)(1)22iiiuNuuu在单元②上：§3.2等参单元的数学分析§3.2.1偏导数之间的变换建立对直角坐标求导及积分等关系，才能计算应变及刚度阵等11(,)(,)diiidiiixNxyNy其中d为等参单元节点数变换公式：iiiiiiNNNxyxyNNNxyxy复合求导的链式法则：iiiiNxyNxNNxyy写成矩阵形式：11122212[]ddddxyNNNxyxyJxyNNNxy雅可比（Jacobi）矩阵：1[]iiiiNNxJNNy则：§3.2.2积分变量之间的变换1[]iiiiiiNNxNNJyNNz三维问题：[]xyyxyzJxyz1.微元面积的计算||||||sindAabab各点的直角坐标：11(,)(,)PPxxyyP1点：P2点：22(,)(,)(,)(,)PPxxxdyyydP3点：33(,)(,)(,)(,)PPxxxdyyyd21213131()()()()PPPPPPPPxyaxxiyyjdidjxybxxiyyjdidj||dAabJdd微元面积：(,)||(,)xyxyJxy——雅可比（Jacobi）行列式曲线坐标系的积分：(,)(,)'(,)||AAFxydAFJdd三维问题：(,,)(,,)'(,,)||VVFxyzdVFJddd(,,)||(,,)xyzxyzxyyJxyz2.微元弧长的计算§3.2.3等参变换条件微元面积不能为零或负值，故等参变换必须满足：||0||0sin0(180)ab非奇异条件要求：等参坐标系与单元的形状密切相关，在划分有限元时，应避免出现以下情形：||||||sin0dAabab§3.3.1四节点任意四边形等参元§3.3平面问题的等参元1.坐标变换及位移模式4141(,)(,)iiiiiixNxyNy坐标变换：位移模式：4141(,)(,)iiiiiiuNuvNv其中2.单元刚度矩阵1234(38)(31)(81){}[]{}[]{}eeBBBBB/0[]0/(1,2,3,4)//iiiiiNxBNyiNyNx1[]iiiiNNxJNNy1(1)4(1,2,3,4)1(1)4iiiiiiNiN(88)[][][][][][][]eeTTekBDBdBDBtdxdy平面应力问题的单元刚度矩阵:1111(88)[][][][]||TekBDBtJdd3.等效节点力——采用数值积分来计算{}[(,)]{}TPePPRNp1111{}[]{}||TpeRNptJdd{}[]{}eTqeSRNqtds122111{}[]{}[()()]TqexyRNqtd§3.3.2八节点曲边四边形等参元1.坐标变换及位移模式222212345678222212345678xaaaaaaaaybbbbbbbb8181(,)(,)iiiiiixNxyNy得出坐标变换公式：221(,)(1)(1)(1)(1,2,3,4)41(,)(1)(1)(5,7)21(,)(1)(1)(6,8)2iiiiiiiiiNiNiNi其中形函数：8181(,)(,)iiiiiiuNuvNv位移模式：假设坐标变换关系：2.应变矩阵128(316)(31)(161){}[]{}[]{}eeBBBB其中/0[]0/(1,2,,8)//iiiiiNxBNyiNyNx1[]iiiiNNxJNNy1(1)(2)4(1,2,3,4)1(1)(2)4iiiiiiiiiiNiN2(1)(5,7)1(1)2iiiNiN21(1)2(6,8)(1)iiiNiN3.单元刚度矩阵与等效节点力1111(1616)[][][][][][][]||eTTekBDBdBDBtJdd平面应力问题单元刚度矩阵：等效节点力与四节点单元类似§3.4高斯积分及其在等参元中的应用§3.4.1积分点与权系数1()()nbiiaiIfxdxHfx数值积分的形式：代数精度：111()()niiifdHf任意一个21n次多项式的精确积分为1111121222121221011111()nnnnnPdadadadad数值积分：2122212122101121222122101111()()nnnniniininiiiinnnnnnniiniiiiiiiiiHPHaaaaaHaHaHaH常用的Gauss积分的节点和权系数：必须满足：1111111221111111111121212111202311(1)11102niiniiiniiiknkkkiiinnnniiiHdHdHdHdkkHdn§3.4.2多重积分的Gauss求积公式11111111(,)[(,)]dxfdfdd二重积分：11111111(,)(,)(,)mnnmjiijijijjiijdfdHHfHHf三重积分：111111111(,,)(,,)nmlijkijkijkddfdHHHf有限元计算中积分点数目的选取：§3.5空间问题与轴对称问题等参元§3.5.1空间问题的等参元空间问题常用的是8节点和20节点等参元1.坐标变换及位移模式111(,,)(,,)(,,)diiidiiidiiixNxyNyzNz坐标变换公式：111(,,)(,,)(,,)diiidiiidiiiuNuvNvwNw位移模式：yxz2134ξηζ567878651243ξηyxzζ910111213141516171819209123456781234567812345678uvw8节点等参元：其中形函数1(,,)(1)(1)(1)(1,2,,8)8iiiiNi222123418192022212341819202221234181920uvw20节点等参元：2221(,,)(1)(1)(1)(2)(1,2,,8)81(,,)(1)(1)(1)(9,10,11,12)41(,,)(1)(1)(1)(13,14,15,16)41(,,)(1)(1)(1)(17,18,19,20)4iiiiiiiiiiiiiiiiNiNiNiNi其中形函数2.应变矩阵12(63)(61)(31){}[]{}[]{}ededdBBBB其中(63)/000/000/[](1,2,,)//00///0/iiiiiiiiiiNxNyNzBidNyNxNzNyNzNx1[]iiiiiiNNxNNJyNNz1(1)(1)81(1)(1)(1,2,,8)81(1)(1)8iiiiiiiiiiiiNNiN8节点等参元：20节点等参元：1(1)(1)(21)81(1)(1)(21)(1,2,,8)81(1)(1)(21)8iiiiiiiii