同济大学高等数学2011第二学期期中考试简答

二、1.2111lim1coslim.8222nnnnnn2.求由参数方程2e,e1ttxty所确定的隐函数yyx的二阶导数22d.dyx解1232d2e2ed2,.d1e1d1tttyytxttxt3.33233232222200011131113/33/23limlimlim.sin2xxxxxxxxxxxxx4.令20,,fxFxDx则2220,xfxfxfxfxfxxfxxffxfFxxxxx因0ffx单调增加，从而0fxFxFxx在0,上单调增加.三、求曲线222e2xyxy在点1,1处的切线方程，并求出函数yyx在该点的二阶导数1.y解方程两边对变量求导，有54e121.3xyxyyyy因而切线方程为5320.xy上式继续求导有22104e1e221.27xyxyyyyyyy四、讨论曲线1yxx的升降性和凹凸区间，并求出曲线的拐点.解3/232340,,2141xxyyxx因而在1,中，曲线是上升的；在41,3中，曲线是凸弧，在4,3曲线是凹弧.拐点坐标是44,.333五、求函数2tane1xfx的带佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式，并利用该公式计算极限220tane12lim.xxxx解因22200.2sece1e,02,xxffxf222222224esece12e2sece1tane12e,xxxxxxfx04.f所以2222100022,2fxffxfxoxxxox解2因2222tan,e122xxxoxxxox所以2222,fxxxox2222200tane12222limlim2.xxxxxxoxxxx六、设fx在1,中单调，证明limxfx存在的充分必要条件是fx咋区间1,上有界.证：设fx单调增加且lim.xfxA则1lim.xffxfxA：仍然设fx在1,中单调，从而任意的1,,x则有1.fxfxfx由极限存在准则知极限limnfn存在，再由夹逼定理知limxfx存在.