同济大学高等数学第七版1-3函数极限

第三节函数的极限自变量变化过程的六种形式:根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的极限时即)(,xfx一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势的极限时即)(,0xfxx一、自变量趋向有限值时函数的极限的变化趋势函数时考察1)1(2)(,12xxxfx这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo4Axf)(0xx0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx怎样用数学语言刻划,0xx无限接近)(xf函数于确定值A？;)(任意小表示Axf.0的过程表示xx00xx),(0xUxO0x,0若)(,0若1.定义定义1设函数有定义.,0,00时使当xxAxf)(,)(0Axfxx有极限时函数则称,)(lim0Axfxx记作).()(0xxAxf或,0恒有)(xf在点x0某去心邻域内注：(1)定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素：①正数ε，②正数δ，③不等式)||0(|)(|0xxAxf定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当0lim()xxfxA(3)δ与任意给定的正数ε有关。()fx0x(2)有没有极限，与在点是否有定义无关()fx,0AyA必存在x0的去心邻域,00xx对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带形区域内.的几何意义Axfxx)(lim.20作出带形区域,0,00xx当Axf)(,0xyO)(xfyAA0x0x0xA一般说来,,)(lim0Axfxx论证应从不等式Axf)(出发,推导出应小于怎这个正数就是要找的与相对应的,这个推导常常是困难的.但是,注意到我们不需要找最大的,所以Axf)(适当放大些,的式子,变成易于解出0xx.找到一个需要的找到就证明完毕.可把0xx样的正数,.lim00xxxx证明证,||0,,00时则当取xx||0xx.lim,00xxxx故成立这是证明吗？非常非常严格！例1例2证明5)13(lim2xx证|2|3|5)(|xxf|2|3|5)(|xxf要使3|2|x只须于是0)3(时当|2|0x恒有|5)(|xf5)13(lim2xx例3.211lim21xxx证明分析：211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点是否有极限并无关系．1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx证例4.lim00xxxx证0)(xxAxf,0,00时当xx00xxxxAxf)(要使,0xx有00xxx即只要.lim,0:000xxxxx时当证明0x且取,0x0xmin00xxx可用00xxx保证证明914lim2xx证,0由于24914xx要使914x解出)(2x只要,42x可取,20时当x有,914x914lim2xx解不等式,443.左、右极限(单侧极限)例如,0,10,1)(2xxxxxf设00xx和分,0xx从左侧无限趋近-0;xx—,0xx从右侧无限趋近+0.xx.1)(lim0xfx两种情况分别讨论!xyO1xy112xy记作记作左极限,0右极限0lim()xxfxA0lim()xxfxA,0.)(Axf恒有00xxx使得时,或,0,000xxx使得时,.)(Axf恒有.)(0Axf或.)(0Axf记作记作}0{0xxx注Axfxx)(lim000()()fxfxA-+00()()fxfx左极限和右极限均存在且}0{}0{00xxxxxx此性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：例5.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时)(xf的极限是否存在.xyo11xy11xy解:利用定理3.因为)(lim0xfx)1(lim0xx1)(lim0xfx)1(lim0xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0xfx不存在.111211)(2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxxOy1121在x=1处的左、右极限.1lim21xx0)1(lim1xx解二、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数xxx返回问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.通过上面演示实验的观察:.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx:.1定义定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得x满足不等式Xx时,所对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那么常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或定义XAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:)1(情形x,0:)2(情形xAxf)(limAxf)(lim2.另两种情形,0X,时使当Xx|)(|Axf恒有,0,0X,时使当Xx.)(上有定义在设axxf|)(|Axf恒有.)(上有定义在设axxfxxAxfx)(lim且Axfx)(limAxfx)(lim解显然有,2arctanlimxx,2arctanlimxx可见xxarctanlim和xxarctanlim虽然都存在,但它们不相等.xxarctanlim故不存在.例5讨论极限是否存在?xxarctanlim22yxyarctanxXX,时或当XxXxA的几何意义Axfx)(lim.3,||时当Xx有|)(|Axf,0,0XAxfA)()(xfy函数,为中心线以直线Ay.2的带形区域内宽为)(xfy图形完全落在:xyOyA的图形的水平渐近线(horizontalasymptote).则直线)(xfy是函数例6.2121lim33xxx证明：证,0,212133xx要,||213x即要,21||3x即,||,213有时则当故取XxX212133xx成立.由极限的定义可知:.2121lim33xxxxxysin例70sinlimxxx证明证,0,1X取,||时当Xx0sinxx.0sinlimxxx故要使,0sinxx成立.xxxxsin0sin,||1x只要||1x有,1||x即解不等式||x解出xyO.111lim22xxx试证证,0注意有12111222xxx,22x为了使,11122xx只要使,22x,2x即,2X取,时当Xx有2222111xxx.111lim22xxxx解出,0时当x三、函数极限的性质函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性),0时若当xxf(x)有极限,则f(x)在上有界;),(0xU,时若当xf(x)有极限,,||,0时当则存在XxX.)(有界函数xf且证明方法也类似.)(xf,)(lim)1(0Axfxx若定理3(局部保号性)证(1)设A0,取正数,2A,)(lim0Axfxx由,0则,00xx使当,2)(AAxf即2)(2AAxfAA.0)(xf);0)((0)(,),(0xfxfxU或有内则在),0)((0)(),()2(0xfxfxU或内有若在).0(0AA或则必有23A2A有自己证),0(0AA或且),0()(lim0AAxfxx若只要取,2A便可得更强的结论:证(1),2)(Axf已证也即2)(Axf(2)自己证.定理3(1)的证明中,,),(0内使在xU.2|||)(|Axf有不论,0则,00AA或定理3,0时A,0时A),0)((0)(),()2(0xfxfxU或内有若在).0(0AA或则必有证,0)(xf设假设上述论断不成立,,0A即设那么由(1)就有),,(0xU在该邻域内,0)(xf这与.0A所以类似可证的情形.0)(xf假设矛盾,若定理3(2)中的条件改为,0)(xf必有?0A不能!如是否定理3),0(0,)(lim)1(0AAAxfxx或且若);0)((0)(,),(0xfxfxU或有内则在定理31.函数极限的或X定义;2.函数极限的性质局部保号性;四、小结唯一性;局部有界性;3.函数的左右极限判定极限的存在性.