同济大学高等数学第六版第五章第二节微积分基本公式

在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中一、问题的提出设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，.)()(xadttfx记积分上限函数二、积分上限函数及其导数abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx一般情况如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为)()()()(xbxadttfdxdxF)()()()(xaxafxbxbf注此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量x求导，其结果就等于被积函数在上限自变量x处的函数值若上限不是x而是x的函数a(x)，则求导时必须按复合函数的求导法则进行)()()]([])([xaaxaxafdttfdxddttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF例1求.lim21cos02xdtextx00[分析]：这是型不定式，应用洛必达法则.解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex证21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e例2设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证xdtttfdxd0)()(xxfxdttfdxd0)(),(xf,)()()()()(200xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0xdttf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.例3设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.证令,1)(2)(0dttfxxFx,1)(xf,0)(2)(xfxF)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.0如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理2（原函数存在定理）前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.三、Newton-Leibniz公式已知)(xF是)(xf的一个原函数，又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,CxxF)()(],[bax令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF,)()(CdttfxFxa),()()(aFxFdttfxa令bx).()()(aFbFdxxfba牛顿—莱布尼茨公式证)()()(aFbFdxxfbabaxF)(注微积分基本公式表明：(1)一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它在该区间上的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.（2）N-L公式揭示了积分学两类基本问题——不定积分与定积分两者之间的内在联系（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.（4）为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立..)1sincos2(20dxxx解原式20cossin2xxx.23例5设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式xyo126例4求例6求.},max{222dxxx解由图形可知xyo2xyxy122},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211例7求.112dxx解当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例8计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积0sinxdxA0cosx.2xyo1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx3.微积分基本公式)()()(aFbFdxxfba牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．称之为微积分基本公式。注意使用公式的条件（1）被积函数f(x)连续（2）F（x）是f(x)在该区间上的任一原函数四、小结设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx思考题解答