同济版线性代数笔记

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第一章行列式二阶行列式:如下所示1112112212212122aaaaaaaa=−(1)数ija称为行列式的元素或元,其第一个下标i称为行标;第二个下标j称为列标;位于第i行第j列的元素称为行列式的(,)ij元。例:求解二元线性方程组1212321221xxxx−=⎧⎫⎨⎬+=⎩⎭解:12321223127,14,21211121DDD−−======−得111427DxD===,223DxD==−三阶行列式:如下所示111213212223112233122331132132112332313233122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟=++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−(2)排列(全排列):把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列。例如n=3,则这3个元素的排列的种数为123,132,213,231,321,312,共六种,即种数为33216P=××=种。对于n个元素,则其排列的种数为(1)321!nPnnn=×−××=LL逆序数:对于n个不同的元素,先假设各元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),很显然,n个不同的元素排列顺序肯定不止一种,当这些元素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说它有一个逆序。排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列。不失一般性,设n个元素为1至n这n个自然数,规定由小到大为标准次序,设12npppL为这n个自然数的一个排列,考虑元素ip,如果比ip大的且排在ip前面的元素有it个,就说ip这个元素的逆序数是it(因为按照标准排序从小到大,即在ip之前本该没有数大于ip,但现在有it个,所以说有it个元素相对于ip与标准顺序不同,即有it个逆序数),如果每个元素都有相应的逆序数(如果没有的话,则其逆序数为零),则全体元素的逆序数之总和为121nniittttt==+++=∑L,例如排列32514的逆序数为0+1+0+3+1=5个n阶行列式:我们观察三阶行列式可以发现,其等号右边的每一项都是三个元素的乘积,且这三个元素都位于不同的行、不同的列,因而等号右边任一项除正负号以外可以写成123123pppaaa。这里的第一个下标(行标)排成标准次序123,而第二个下标(列标)排成123ppp,它是1,2,3三个数的某个排列,共3!6=种,对应三阶行列式等号右边的6项。而这六项前面有的是正号有的是负号,这和123ppp的逆序数有关,如果逆序数为偶数则为正,逆序数为奇数则为负,设t为列标排列的逆序数,则正负号表示为(1)t−。依次类推,对于n阶行列式,共有2n个数,排成n行n列,其计算如下1211121212221212(1)nnntppnpnnnnaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑LLLMMML(3)其中的12npppL为自然数1,2,,nL的一个排列,t为这个排列的逆序数。上式共有n!项。行列式简记作det()ija。特殊行列式:(1)对角阵,如下所示11(1)2221212;(1)nnnnnnrrrrrrrrrrrr−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LLON(2)三角形行列式:主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式。它的值与对角行列式一样。对换:在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种手续叫做对换。将相邻两个元素对换叫做相邻对换。对换具有如下性质:(1)一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。因而奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。(标准排列逆序数为0)。(2)因为行列式的结果有行和列两个序列组成,所以每次对换后,其行与列的逆序数都会变化,经验证,两者的逆序数变化之和为偶数,即不改变行列式奇偶性,因而结果的正负号也不改变,因而整个行列式也不改变。即行列式可以表示成如下两种方式'12121112121222121212(1)(1)nnnnttppnppppnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑LLLLMMML上式中的t是列标排列的逆序数;t'是行标排列的逆序数。转置行列式:D的转置行列式记作DT,如下所示111211121121222122221212nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaa=⇒=LLLLMMMMMML行列式性质:行列式具有如下的一些性质:(1)行列式与它的转置行列式相等。(2)互换行列式的两行(列),行列式变号(因为只对换了行或列,互换一次是奇数次)。(3)如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。(4)行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘以此行列式。(5)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。(6)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。(7)若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则行列式可以写成相应的两个行列式之和,例如第i列的元素都是两数之和,则有''1112111111211111211''2122222122222212222''121212()()()iininininiininnnninnnnnininnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaa++==++LLLLLLLLLLLLMMMMMMMMMMMMLLLLLL(8)把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数,然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。如下所示111111111112122221222211()()()ijnijjnijnijjnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaa++=+LLLLLLLLLLLLMMMMMMMMLLLLLL例:计算行列式3112513420111533D−−−=−−−解1221411312131215340846;502110211513301627ccrrrr−−−−−−↔⇒−−+⇒−−−−−−2332424313121312131202110211021154;8400081008460081045016270010150002rrrrrrrr−−−−−−↔⇒+−⇒+⇒=−−−−−−例:一种特殊行列式关系如下所示,如果有以下的行列式11111111111211111111110,det(),det()kknkkkijijknkkknnnnnknnnaaaabaaaDDaDbccbbaabbccbb=====LMMLLLMMMMLLLLMMMMLL则12DDD=例:特殊2n阶行列式2()nnababDadbccdcd==−ONNO余子式:在n阶行列式中,把(i,j)元ija所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元ija的余子式,记作ijM;另外有(1)ijijijAM+=−叫做(i,j)元ija的代数余子式。关于余子式引出的定理有(1)一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元ija外都为零,那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积,即ijijDaA=。(2)行列式按行(列)展开法则:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即1122(1,2,,)iiiiininDaAaAaAin=+++=LL或1122(1,2,,)jjjjnjnjDaAaAaAjn=+++=LL(3)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即11220,()ijijinjnaAaAaAij+++=≠L或11220,()ijijninjaAaAaAij+++=≠L由上面的定理2和定理3总结出代数余子式的重要性质如下:1,0,nkikjijkDijaADijδ==⎧⎫==⎨⎬≠⎩⎭∑或1,0,nikjkijkDijaADijδ==⎧⎫==⎨⎬≠⎩⎭∑其中1,0,ijijijδ=⎧⎫=⎨⎬≠⎩⎭例:331343311251115115134111312;(1)11112011001055015335530Dcccc+−−−−−−=−+⇒=−−−−−−−−−−132151162620(1)4055550rr+−+⇒−=−=−−−−范德蒙德行列式:如下所示1221321111112111()()()()nnnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxxxxx−≥≥≥−−−==−−−=−∏LLLMMML范德蒙德行列式的证明这里就不作细述,值得注意的是,计算n阶行列式,常要使用数学归纳法。数学归纳法的主要步骤是:导出递推公式及检验n=1时结论成立。克拉默法则:含有n个未知数12,,,nxxxL的n个线性方程的方程组如下11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎫⎪⎪+++=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=⎩⎭LLLLLLL(4)如果上面的线性方程组的系数行列式不等于零,即11110nnnnaaDaa=≠LMML那么方程组(4)有唯一解1212,,,nnDDDxxxDDD===L,其中(1,2,)jDjn=L是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的n阶行列式,即111,111,111,1,1jjnjnnjnnjnnaabaaDaabaa−+−+=LLMMMMMLL关于克拉默法则具有以下的一些定理:(1)如果线性方程组(4)的系数行列式0D≠,则方程组(4)一定有解,且解是唯一的;反过来也成立。(2)如果线性方程组(4)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。(3)齐次线性方程组:如果方程组(4)右边的常数项12,,,nbbbL全为零时,则称线性方程组(4)为齐次线性方程组;如果12,,,nbbbL不全为零时,则称其为非齐次线性方程组。对于齐次线性方程组,120nxxx====L一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组的零解;如果存在一组不全为零的数是齐次线性方程组的解,则称它为齐次线性方程组的非零解;齐次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解。(5)如果齐次线性方程组的系数行列式0D≠,则齐次线性方程组没有非零解。因为由上面的第一条克拉默定理知道,当0D≠时,线性方程组的解是唯一的,而120nxxx====L必是齐次线性方程组的解,因而不存在其他的解了,包括非零解。(6)如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零。第二章矩阵及其运算2,1矩阵:由mn×个数ija(1,2,,;1,2,,imjn==LL)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称mn×矩阵。其外面总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,如下111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵(注意,与行列式的区别,行列式是一个数)。n阶矩阵A也记作An.只有一行的矩阵称为行矩阵,又称行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵,又称列向量。两个矩阵的行数与列数都相同时,称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。2.2,线性变换:n个变量12,,,nxxxL与m个变量12,,,myyyL之间的关系式11111221221122221122nnnnmmmmmnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax=+++⎧⎫⎪⎪=+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=+++⎩⎭LLLLLLL上面方程组表示一个从变量12,,,nxxxL到变量12,,,myyyL的线性变换。上面方程组的系数所构成的矩阵称为系数矩阵。2.3,单位矩阵:如下的线性变换对应的系数矩阵就是单位矩阵1122nnyxyxyx=⎧⎫⎪⎪=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=⎩⎭LLLL111OEO⎛⎞⎜⎟⎜⎟⇒⇒⇒=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O系数矩阵2.4,对角矩阵:如下的线性变换对应的系数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