含字母系数的一元二次方程常见错解剖析

含字母系数的一元二次方程常见错解剖析河北省滦平县第二中学（068250）许志儒一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面：一、忽视二次项系数a0导致字母系数取值范围扩大例1.已知关于x的一元二次方程axax2212210有实根，求a的取值范围。错解：因为方程有实根，所以△≥0即4241022()()aa解得a54剖析：由一元二次方程的定义知：a210。而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为：依题意得：aaa2221042410()()解得a54且a1（注：例1等价于：已知关于x的方程axax2212210有两个实数根，求a的取值范围）二、忽视△≥0导致错解例2.已知：xx12、是方程xkxkk222350的两实根，求xx1222的最大值。错解：由根与系数的关系得：所以xxxxxx1222122122所以当k5时，xx1222有最大值19。剖析：当k5时，原方程变为xx27150，此时△＜0，方程无实根！错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即：解得443k所以当k4时，xx1222有最大值18。三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例3.已知关于x的方程kxkxk22110，当k为何值时，方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以△≥0即214102kkk解得k13，又因为k0所以k13且k0剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。（1）当k＝0时，原方程变为一元一次方程21x，其实根为x12，故k可取0。（2）当k0时，原方程为一元二次方程，须满足△≥0，即k13且k0，综合（1）、（2）知：k13。四、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大例4.若二次方程xxm2650的两实根都大于2，则m的取值范围为_________。错解：设方程两实根为xx12、，则xx1222，所以xxxx121244，依题意得xxxxmm1212645436450()解得41m剖析：当m＝0时，原方程为xx2650，其根为xx1215，，显然不合题意，错因在于：由x12，且x22得xxxx121244，成立；反之，由xx124·则不一定有x12且x22成立。正解：设方程的两实根为xx12、，则依题意得364502202206512121212()()()()()mxxxxxxxxm，解得43m例5.已知方程xaxa2240的两实根中仅有一根为负数，求a的取值范围。错解：设方程两实根为xx12、，因两根中仅有一根为负数，故另一根为0或正数，故有：解得a2或a2剖析：当x10且x20时有xx120成立；反之当xx120时则不能保证两根中必有一个为负数！正确解法应分两种情况：（1）当xx1200，时，有xxaxxa12122040即a2（2）当xx1200，时，有xxa12240解得a2或a2，综合（1）、（2）知：a2或a2五、忽视题目中的隐含条件导致错解例6.已知a、b是方程xkxk2110的两个根且a、b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值。错解：因为a、b是方程xkxk2110的两个根所以abkabk11，又由已知得：ab221所以abab221即kk2420解得k26剖析：由于a，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以ab00，，从而abab00，，当k26时abk1160，故k26不合题意，舍去。当k26时，abkabk1611360，，故k的值为26。注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用。（初三）年级初中学科数学版本期数内容标题含字母系数的一元二次方程常见错解剖析分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学主题词含字母系数的一元二次方程常见错解剖析栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入李红英一校胡丹二校审核