数学物理方法姚端正CH2作业解答

1数理方法CH2作业解答P33.习题2.13.利用积分不等式，证明（1）∫-≤+iidziyx2|)(|22积分路径是直线段；（2）∫-≤+iidziyxp|)(|22积分路径是连接i-到i的右半圆周.证明：（1）积分路径是从i-到i的直线段，那么积分路径的长度为2=s，在该路径上，0=x，则2|)(|yzf=，而1||≤y，所以1|)(|≤zf即1|)(|=Mzf的最大值为∫-=⋅=≤+iiMsdziyx221|)(|22（2）积分路径是连接i-到i的右半圆周，该圆周半径1=r，那么积分路径的长度为pp==rs.在该路径上，qcosrx=,qsinry=,则12sin2112sin21)cos(sincossin2)cos(sin)sin(cos|)(|222222222222244444≤-=-+=-+=+=+=qqqqqqqqqqrrrryxzf即1|)(|=Mzf的最大值为所以∫-=⋅=≤+iiMsdziyxpp1|)(|225.计算∫-=lnazdzI)(，其中n为整数，l为以a为中心，r为半径的上半圆周.解：记qireaz=-则qqdriedzi=当1=n时，pqqppqqiidredrieazdziil===-∫∫∫00当n为1≠的整数时，∫∫=-pqqq0)(innilnerdrieazdz=∫---pqq0)1(1deirninppqqqqq0101|]1)1cos(1)1sin([])1sin()1[cos(--+--=---=--∫nninnirdninirnn=---=--⋅-=--]1)1[cos(1]1)1cos([101pqpnnrnnrnn⎪⎩⎪⎨⎧⇐⇐--为奇数时为偶数时nnnrn01212上式也可表达为]1)1[(1]1)1[cos(1111---=------nnnnrnnrpP38习题2.2：1.计算积分：∫--lbzazdz))((l是包围a、b两点的围线。解法之一：))((1bzaz--在l内有两个奇点，az=和bz=。在l内作小圆1l包围a，作小圆2l包围b，则由复通区域的柯西定理知：∫--lbzazdz))((=∫--1))((lbzazdz+∫--2))((lbzazdzbaiibabzdzazdzbabzazdzlll-=--=----=--∫∫∫pp2)02(1)(1))((111baiibabzdzazdzbabzazdzlll--=--=----=--∫∫∫pp2)20(1)(1))((222所以，0))((=--∫lbzazdz解法之二：也可以简单地这样处理：0)22(1)(1))((1=--=----=--∫∫∫iibabzdzazdzbabzazdzlllpp解法之三：学了第3节后，可以用柯西公式：在l内作小圆1l包围a，作小圆2l包围b，则由复通区域的柯西定理知：∫--lbzazdz))((=∫--1))((lbzazdz+∫--2))((lbzazdz其中，baibzidzazbzbzazdzazll-=-=--=--=∫∫pp2|121))((113abiazidzbzazbzazdzbzll-=-⋅=--=--=∫∫pp2|121))((22则∫--lbzazdz))((=∫--1))((lbzazdz+022))((2=-+-=--∫abibaibzazdzlpp2．计算积分（1）∫+--+idzz222)2(（3）∫+izdzze211p（说明：此题是用找原函数的方法，与实变函数积分的方法是一样的）解：（1）3|)2(31)2(223222izdzzii-=+=++--+--∫（3）由分部积分法得：zzzzzzezedzezezdedzze-=-==∫∫∫则eezdzzeiziz2|)1(211211ppp-=-=++∫P44习题2.31.计算下列积分，其中l为2||=z（3）dzzzzl∫++)1(2解法之一：被积函数有两个奇点，1-=z和0=z；这两个奇点都包含在围道内，分别以1-=z和0=z为圆心作小圆，分别记为1-l和0l.由复连通区域的柯西定理，有：dzzzzdzzzzdzzzzlll∫∫∫+++++=++-01)1(2)1(2)1(2其中，izzidzzzzdzzzzzllpp2|22)1(2)1(2111-=+⋅=++=++-=∫∫--4izzidzzzzdzzzzzllpp4|12212)1(2000=++⋅=++=++=∫∫则iiidzzzzlppp242)1(2=+-=++∫2.计算积分∫+lzdz92，其中围道l：（1）包围i3，不包围i3-（2）包围i3-，不包围i3（3）包围i3±解：（1）3|)3(12)3()3(1)3)(3(932pp=+⋅=-+=-+=+=∫∫∫izlllizidzizizizizdzzdz(2)3|)3(12)3()3(1)3)(3(932pp-=-⋅=+-=-+=+-=∫∫∫izlllizidzizizizizdzzdz(3)两个奇点都包含在围道内，则分别以两个奇点为圆心作两个小圆，分别记为1l和2l（1l以iz3-=为圆心；2l以iz3=为圆心），则由复连通区域的柯西定理，有∫∫∫+++=[phone]lllzdzzdzzdz其中，3|)3(12)3()3(193211pp-=-⋅=+-=+-=∫∫izllizidzizizzdz=+∫292lzdz3|)3(12)3()3(1)3)(3(322pp=+⋅=-+=-+=∫∫izllizidzizizizizdz则∫∫∫+++=[phone]lllzdzzdzzdz=03.计算下列积分（1）dzzzl∫-5)1(cosp解：izdzdidzzzzl12|)(cos!42)1(cos51445pppp-==-=∫55.求积分dzzelz∫)1|:|(=zl从而证明：pqqpq=∫de)cos(sin0cos解：ieidzzelzpp220=⋅=∫证明：因积分的围线为以0=z为圆心，以1为半径的圆，故可令qiez=qqdiedzi=则∫∫∫∫∫+===⋅=+pqpqqpqqpqqqqqqqqq20cos20sincos20)sin(cos20)]sin(sin)[cos(sindiiedeiedieideeedzzeiiiielzi=∫∫-pqpqqqqq20cos20cos)sin(sin)cos(sindedie上式等于ip2，说明;pqqpq2)cos(sin20cos=∫die，则pqqpq=∫de)cos(sin0cos而∫=pqqq20cos0)sin(sinde6.计算积分∫-lzzzei3)1(21p，若（1）0=z在l内，1=z在l外；(2)1=z在l内，0=z在l外；（3）0=z，1=z均在l内解：（1）0=z在l内，1=z在l外；1|)1()1(21)1(210333=-=-=-=∫∫zzlzlzzedzzzeidzzzeipp(2)1=z在l内，0=z在l外；2|)(!21)1(21)1(2112233ezedzddzzzeidzzzeizzlzlz-=-=--=-=∫∫pp（3）0=z，1=z均在l内这时，围道内有两个奇点，分别以0=z和1=z为圆心作两个小圆，分别记为0l和61l.由复连通区域的柯西定理，有：∫∫∫-+-=-10333)1(21)1(21)1(21lzlzlzdzzzeidzzzeidzzzeippp其中，1|)1()1(21)1(21033300=-=-=-=∫∫zzlzlzzedzzzeidzzzeipp2|)(!21)1(21)1(211223311ezedzddzzzeidzzzeizzlzlz-=-=--=-=∫∫pp则21)1(21)1(21)1(2110333edzzzeidzzzeidzzzeilzlzlz-=-+-=-∫∫∫ppp