《微积分》(中国商业出版社-经管类)课后习题答案六

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题六（A）1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性（1）0dcos20xx（2）xxxxd)1(2d)1(220222（3）0d311xx（3）xxdxxd421011解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确．（2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在)2,2(范围内对称，所以是正确的．（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确．（4）原式dxx112等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1),1(范围内关于轴对称，所以等式两边相等．2．不计算积分，比较下列积分值的大小（1）xxd210与xxd310（2）xxd231与xxd331（2）xxdln43与xxd)(ln243（4）xxdsin20与xxd20解：（1）由定积分的比较性可知在1),0(范围内32xx，所以前者大于后者．（2）由定积分的比较性可知在3),1(范围内32xx，所以前者小于后者．（3）由定积分的比较性可知在4),3(范围内2)(lnlnxx，所以前者小于后者．1a（4）由定积分的比较性可知在）2,0(范围xxsin，所以前者小于后者．3．用定积分性质估计下列积分值（1）xde2x-10（2）xxd)sin1(2454（3）xxxd1510（4）xxxdsin20解：（1）因为2xe在]1,0[范围内的最大值为1，最小值为1e所以由定积分的估值定理可知：dxdxedxexl1021011012101dxeex（2）因为x2sin1在22]45,4[的最大值为2，最小值为1。所以由定积分的估值定理可知：dxdxxdx2)sin1(l45424544542)sin1(2454dxx（3）设xxxf1)(5则)1(12)910(112x15x)('454xxxxxxxxf令0)('xf则01,0)910(4xxx解得：910x,0x所以)(xf在),0(上单调递增所以)(xf在1],0[的最小值为0，最大值是22所以由定积分的估值定理可知：dxdxxxdx221010510102210510dxxx（4）由图中易知：ADABAB其中xABsin，xADtan，xAC即：xxxtansin亦得到：xxxcos1sin120x，从中1sincosxxx由定积分性质有：dxdxxxxdx1sincos2020202sin12dxxx4．利用定积分的几何意义计算下列积分（1）dxx2222（2）dxxx)21(221解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x轴的上方．所以原式221R（2）该定积分的几何意义是以1),1(为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴的上方．所以原式221R215．求下列函数的导数（1）ttexftxd)(212（2）dttxfxex)1ln()(2（3）dtexftxx23)(（4）dtsin)()(330txtxfx解：（1）设)(2tgdttet则mxgxgxegxf222)1()(1)()(令434222x')('g)('xxxexemmxf（2）设)()1ln(2tgdtt则mexgegxfxx令)()()()ln()ln(e)('g')('g)('22xxxexxmmxfxyxx0ABDC1（3）设)(2tgdtet则nmxxgxgxfx,)()()(33令xexennmmgfxx213')('g')('(x)'26（4）设)(sin)(33tgtxt则)0()()(gxgxf0(0)'g)('g)('xxf6．求下列极限（1）ttxxxdsin01lim230（2）ttxxxdarctan01lim20（3）tttxxxd)11(01lim2230（4）ttxxxd)1ln(011lim20（5）ttxtxxd)2sin1(1lim100（6）211)1(d1lnlimxtttxx（7）2210dlimxtxxte（8）tettxxtxxd)(1lim2220（9）xxxtxtxxarctansindelim200解：（1）dttxxx23001limdttxx330311lim31（2）tdtxxx01lim200211lim220xxxx21（3）dtttxxx)sin1tan1(01lim2230dtxxxxx)coscos1(01lim30dtxxxxxsintan01lim30dtxxxx23001lim0311lim330xtxx31（4）dttxxx)1ln(11lim020­)1()1ln(11lim020­tdtxxx0)1ln(11lim20xx（5）dttxtxx100)2sin1(1limdtttxx100)2sin1(lim洛必达法则xxx1)sin1(lim0221)21(lim0xxx2e（6）211)1(1lnlimxdtttxx221lnlim1xxxx4121lim211ln21lim121xxxxxx（7）222210lim10)ln(limxtxxtxxdteedtexeexxedtextxx222021ln1lim（8）2201)(arctanlimxdttxx2201limarctan)lim(xdtxxx01lim422xx（9）dtettxxtxx22)(120limdtexettxtxx22)(lim20洛必达法则21)21()(lim2222xxxxeexx7．设)(xF在]b,[a上连续，且0)(xfttfttfxFxbxad)(1d)()(求证：（1）2)('xF；（2）)('xF在]b,[a内有且仅有一个实根．解：证明：（1）设)(1)()(thdtf(t)tgdttff(t)f(t)b)hxhgxgxFbhxhagxgxF1('-)('(a)'-)(')(')()()()()(又因为2)(',0)(xFtf（2）因为b],[aF(x)在上单调增加，又因为0)(1)(1)(detfdetfaFbaab0)()(dttfbFba又因为F(x)在区间],[ba上连续．所以在区间],[ba内紧有一个实根．8．设)(xf为连续函数，且存在常数a满足dttfxaxx-)(e1求)(xf及常数a．解：设)()(tgdeef则)()(1xgagxex对等式两边求导，得：)((')('1xfx)gagxex所以11)(xexf所以xeeaxaexdxedttfxaxxaxax11111)(所以1a9．设xdttftxxcos1)()(0，说明1)(20dxxf．解：xdtxQdttQxttQQxQxttdQQxQxtQtdQxQxdtttfQxQxdttftxtQttftQxxxxxxcos1)()(0)()]0()([)()]0()([)(()]0()([)()]0()([)()()()('P,)()('000000即102sin)(cosxf(x)sinxQ(x)cosx-1P(0)-)P(20xdxxfx10．用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分（1）381dxx（2）xeexxd)(11（3）dxxxe21)(ln2（4）xxxd1arcsin22221（5）xxdcos0（6）xxd21（7）2114dxx（8）2204dxx（9）xxxxedln221（10）xxdtan36（11）xdx236tan（12）xxxd1241（13）xdsin2120（14）xxd2sin10（15）xxxxxxd)sin(sincos224（16）xxd},1max{231解：（1）29182332381xxdx（2）011)()(11xxxxeedxee（3）1)(ln31)(ln)(ln)(ln23212122exxdxdxxxee（4）xxddxxxarcsinarcsin1arcsin222122221)3616(21122arcsin21222sx28852（5）2sin02sincoscos2cos2200xxxxxxxxdxxdxdxx（6）251021022122200121xxxdxxdxdxx（7）3112arcsin4211xxdx（8）8022214220xarctgxdx（9）xxdexdxxxxdxdxxxxeeeelnln2121ln21ln1211221)3(211)(ln212)1(21222eexe（10）3ln2163coslntan36xxdx（11）dxxdxxxdx)1(seclcos1tan23623623612ln2)633()33(6332（12）dxxxdxxxxdxxx12112)1(414124114ln44(xx12ln2（13）dxxdxxdxx)21(sin)sin21(6sin212602062)21cos(06)cos21(xxxx1213（14）dxxxdxxxdxxxdxxxxxx)cos(sin)sin(coscossin2sin14400022)sincos(04)cos(sin4xxxxxx（15）22442sin1)sin()sin(1)sin(sincos224224xxxxdxxdxxxxxx（16）321013311l}x,1max{223111231xxdxxdxdx11．设tttxftxde)l()(20，问x取何值时，)(xf取极大值或极小值．解：设)(l)e(-2ttgdett则)()()(egxgxf所以xxexxexxxxf22)1()1()('g)('因为)('xf在,0)(，),(-1,),1(上大于0，在1),0(内小于0所以)(xf在),(1,0),(上单调递增，在1),0(内单调递增．所以当0x时，f(x)取极大值，1x时，f(x)取极小值。12．设xxxIxxxIxxxxId)cos(sind)cos(sindcos1sin522322222221比较321，I，II的大小．解：22122sincos1xIxdxx0222(sincos)Ixxdx