《微积分》(中国商业出版社-经管类)课后习题答案三

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题三（A）1．根据导数定义求下列函数的导数：（1）;)0()(xxxf（2）;)0(1)(2xxxf（3）;)0()(32xxxf（4）.)0(log)(xxxfa解：(1)xxxxf2121)()(2121(2)322)'()(xxxf(3)313232)'()(xxxf(4)naxaxexxxfeaa111log11log1)'(log)(2．求下列曲线在指定条件下的切线方程；（1）曲线23xxy的与直线xy5平行的切线；（2）余弦曲线xycos在点2x处的切线；（3）双曲线xy1的经过点（2，0）的切线.解：(1)5,5kxy则直线23xxy5232xxy可得11x,352x21y或27502y。斜率为5，且经过)2,1(或)2750,-35(的斜率为35xy或271755xy(2)2sin'xxy-1当2x时0y斜率为,1且经过)0,2(的斜线为xy2(3))0,2(得直线为bkxy过)0,2(02bkkb2kkxy2xyy1kxy21则kx1ky)0(k),1(kk在kkxy2上,代入xxyk22,13．如一直线运动的运动方程为,122tts求在3t时运动的瞬时速度.解：22',122tstts当3t时，8ssmvt/834．设函数)(xf在点ax可导，求：（1）0limx;)()(xxafaf（2）0limh;2)3()5(hhafhaf（3）)(af，如已知0limt.61)3()(tafaft解：(1)0limx)(')()()(lim)()(0afxaaxafafxxafafx(2))(')()()(lim2)3()5(lim080afxaaxafafhhafhafhk(3)2)(61)3()(3lim31)3()(lim030aftafafttafafttt5．设)(xf可导，求)]([)]([lim220xxfxxfx.解：xxfxxfxfxxfxxfxxfxx)]()([)]()([lim)]([)]([lim02206．设函数)(xf在0x点连续，且极限,23)(lim0xxfx问函数)(xf在0x点处是否可导？若可导，求.)0('f解：23)(lim0xxfxf(x)在0x点连续，3)(,23)(lim00xxxfxxf2x3x)(limxf(0)x)(lim)(f)(lim)0(0x0x0ffxxxxffx7．求函数xxxxf2)(的不可导点.解：xxxxf2)(当02xx时，即1x或0xxxxxxf23)()(223当02xx时，即32)(',102xxxfx，0)0()0(ff)(')(2)(2)(])()([lim)('0xfxfxfxfxfxxfxfx1)1(f1)1(f)1()1(ff1x为f(x)的为不可导点8．设axxxsxfa,0,00,1sin)(在什么条件下可使)(xf在点0x处（1）连续；（2）可导；（3）导数连续.解：xxxxxf1cos,1sin0x00x1sin)(2为有界函数函数1）连续0a0)0(1sinxlim1sinxlima0a0fxxxx2）可导xxxxxxfxfaxaxx1sin)(lim1sin)(lim)0(01sin0)x(lim)0(100a0存在101aa此时0)0(f3）导数连续0x00x1cos1sin)(21xxxaxxfaa若)('xf再0x处连续，则20)0()0(lim)0(lim00afffxx9．设)(xf可导且,0)0(f证明)sin1)(()(xxfxF在0x点可导，并求).0(f解：)0(0)(lim0sin1)((lim)0()0(lim)0('00fxxfxxxfxFxFFxxx10．对于函数),(xf如xxxfxxfx)()(lim0存在，是否)(xf必存在？解：不一定，如xxf)(，此极限在0x处为0，但)0('f不存在.11．设)()()(xgaxxf，(1)若)(xg在点ax连续，求)('af；(2)若点ax是)(xg的间断点，)(xf是否在ax处必不可导，为什么？解：1))()()()()(),()()(agxgaxxgafxgaxxfax2)如Axgax)(lim，则Aaf)('.如)(limagax不存在，则)('af不存在.12．设函数0x0,0x,1)(12xexxf则下列结论正确的是（）.A．)(xf在0x点间断B．)(xf在0x点连续，但不可导C．)(xf在0x点可导，但)(xf在0x点间断D．)('xf在0x点连续解：D.xxxexexxex1312122121，xxxxexexxexex14122131216210lim)(lim02lim)(lim)(lim4140013000exxfexxfxfxxxxxx0x，时0)()()(xfxfxf)(xf在0x点连续13．设)(xf为可导函数，且满足12)1(4lim0xxfx求曲线)(xfy在点))1(,1(f处切线的方程.解：12)1(4limxxfx则4+f(1)=0f(1)=42211cos11sin11xyyxyxxfxxfxfxffxxx2)21(4lim2)1(4lim)1()1(lim)1(00022))2(1(4lim20xxfx所以k=2且经过)4,1(则切线为62xy14．设)(xf是偶函数，且在点0x可导，证明：.0)0(f解：f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),两边求导为:)()(xfxf所以0)()(xfxf当x=0时，等式变为0)0(2f所以0)0(f15．求下列函数的导数：（1）;13524xxxy（2）;)1(xxy（3）;215xxy（4）;ln1ln1xxy（5）xxyanlog（6）;133xxy（7）;sin2xyx（8）;32xyx（9）;cos1xxy（10）;cottanxxxy（11）;arctansxy（12）;arccosxeyx（13）;cossin2cosxxxy（14）;lntan2xxxy（15）;5log222xyx（16）.1111lnxxxxy解：1)23241620'135xxxyxxxy2)xxxxxxxy213)1(21])1[(3)22)22222)1(1(5)1(52)1(515xxxxxxxxy4))xln1(2x)ln(1)ln1(x1-x)ln1(1)ln1ln1(22xxxxxy5))ln1log(ln1log)log(11aaxxaxxanxaxyxnnxnxn6)3413323233223338313)1(xxxxxxxxxy7)x)cos2sinx(ln2xcos22sinx12)xsin2(xxxnyx8)3)ln2(333ln3)3()(2222xxxxxxxeyxxx9)2)cos1(sincos1)cos1(xxxxxxy10)xcscxcotx-xsec)cotxx-x(tan22y11)21arctanx)arctanx(xxxy12)22xxx-11-x(arccos1e-xarccose)xarccos(xxexey13)2)cos(sin2cos)sin(cos)cos(sin2sin2)cossin2cos('xxxxxxxxxxy2)cos(sin2cossin2coscoscos2sin2sin2sin2xxxxxxxxxx2)cos(sin)cos(sin2sin)sin(cosxxxxxsxxxxxxxxxxcossin)cos(sin)cos(sin)cos(sin2sin1214)xxxxxxxxnxxxytanlnseclntan2)1tan(222)tanlnseclntan2(2xxxxxxx15)32222ln)25log2(xxyxx16))111211(ln)1111(ln2xxxxxxxxxy=2222211111.1.11xxxxxxx16．应用反函数求导法则证明：（1）;11)(arctan2xx（2）.11)(arccos2xx解：1)tanyxarctanxy11)(arctan2xxyyx2cos1)(tan22211tan11cos1xyyxy2)211)(arccosxxxyarccosyxcosyyxsin)(cos2211cos11sin11xyyxy17．设函数1)(3bxaxxfy有反函数)(xg，且曲线)(xgy在点（2，1）处的切线方程为5451xy，求常数a，b.解：因为函数1)(3bxaxxfy有反函数)(xg，且曲线)(xgy在点（2，1）处的切线方程为5451xy，所以函数f(x)过点(1,2),又因为曲线)(xgy在点（2，1）处的切线方程为5451xy，所以a=1,b=2.18．求下列分段函数)(xf的)(xf，:)1(),0(ff（1）0;x,e0,x,1sin)(xxxf（2）.02-,tan,2x0,arctan)(xxxxf解：1))(xf=.)1(.1(0),0,0,cos10efefxexxx2))(xf.21111)1(.10cos1)0(,02,sec21,112222ffxxxx19．求下列函数的导数：（1）;)15()53(53xxy（2）;41)23(23xxy（3）;ln)ln(33xxy（4）;12xxy（5）);)(cos(sinxnxyn（6）;11lnxxy（7）;2tanlnxy（8）;2cos5xy（9）;cscsec22axaxxy（10）;1cot2xxy（11）;arcsin12xxxy（12）);ln(22222axxaaxxy（13）;12arctan2xxy（14）;1arccos2xxy（15）;2xaey（16）;xxxxeeeey（17）;11arctanxxy