《微积分》(中国商业出版社-经管类)课后习题答案九

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题九（A）1．确定下列微分方程的阶数；（1）532yxydxdy；（2）0)'(5)''(742xyy；（3）xexyyyxsin2)'(2'''522.解：（1）一阶（2）二阶（3）三阶2．验证下列函数是相应微分方程的解，并指出是特解还是通解.其中21,,CCC是任意常数21,,是常数；（1）04'',2sinyyxy；（2）0'',sincos221yyxCxCy；（3）212121210')('',21，（yyyeCeCyxx）；（4）0'2'',221yyyxeCeCyxx；（5）09'',3yyCeyx；（6）xxxeyyyexey2'3'',)2(32.解：（1）特解（2）通解（3）通解（4）通解（5）通解（6）特解3．求下列微分方程的解：3.(1))1(1dd22xyyxy；（2）yxyyyx32；（3）0d1d122xyyx；（4）0d)32(d)2(xyxxyx；（5）0d)64(d)53(yyxxyx；（6）).0(d4d2d222xxyxxyyx解：1.)1(122xxyydxdy变形得：）（2211xxdxdyyy两端分别积分dxxdyyy）（22x1x-11cxxyln1ln21-ln1ln2122）（）（222.11-xcxy））（（2.cxyyxcxyxdxyydyxxyydxdylnln212311)1(1)1(122222223．dxxydydxydyx22221110211cxxy)1ln(arcsin24．0)32()2(dyyxdxyx0,0x200yxQyp取则dyyxdxyxyxyxu)32()2()0,0(),(),(cyxx2223421cyxyx2223421:通解为5．xyxydxdyyxyx64536453dxduxudxdyuxxy.则令duuuucxdxduxuuuu13232)(ln2364645322uudxduxu6453则方程可化为duuuucxdxduxuuuu13232)(ln23646453226.)0(42222xdxyxydxxdy2)(41xyxydxdy令xuuyuxyuxy'.'..241'uuxuu经计算可得04122xccy4．求列下微分方程初值问题的特解：（1）;2)4(,04yxdyydx（2）1)0(,0e-xydyyxdx；（3）0y(1)0),(x0dd)(22yxxyxy解：（1）ydyxdx4则cxy222122)4(y特解21)1(212xexy则16c特解1621222xy（2）ydydxxex则221)1(ycexx1)0(y21c特解：212)1(21xexy（3）21xyxydxdy令xyu则21uudxduxu即dxxduu1112即cxuuln1ln2001cy特解：0ln222xyxy5．求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（1）;1xexydxdyx（2）;112'25xxyy（3）;38'39xeyyxx（4）;2'xxeyy（5）;1,sin2'yxyxy（6）.911,3'yxyxy解：（1）xexydxdyx1令0xydxdy则cxylnln即cxy设非齐次方程的通解为xxcy则xexxxcxxcxcx1'则21'xexxcxcxxxcdxxxcdxexexxxyxxln1111（2）25112'xxyy中12xxP251xxQ通解为：dxexeecydxxdxxdxx121212251dxexeecxxx1ln21ln21ln225111112122xdxxxc2113227xcx（3）01122dxydyx2211xdxydy两端积分可得：cxxy21lnarcsin(4)0322dyyxdxyx2312232xyxyxyxydxdy令uxudxdyuxyuxy',,有2312'uuuxu232312'2uuuuxuxuuudxdu1231432求出u与x的方程,再将xyu代入.cyxyx2234(5)06453dyyxdxyxxyxyyxyxdxdy64536453令uxuyuxyuxy'',,uuuxudxdy6453'xuuuuu1646453'2xuuu1463962求出u与x的方程,再将xyu代入cyxyx22（6）0322222dyyxydxyx222322yxyyxdxdy22322xyxyxy令uxuyuxyuxy'',,22322'uuuuxu求出u与x的方程,再将xyu代入cyxyx3233326．曲线L是一条平面曲线，其上任意一点)0)(,(xyxP到坐标原点的距离恒等于曲线L在该点切线在y轴上的截距，且L经过点0,21.（1）试求曲线L的方程；（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.解：（1）xyyyx'22（2）221'xyyy令xyudxxduuuudxduxu111122cxxy1lnarcsincxxy1lnsin7．设)(:xyyL在点),(yx处切线的斜率xyk121，且曲线L过点（1，0）.试求曲线L的方程.解：xyy1132'令032ydxdy则cxyln2ln则2xcy则设通解为2xxcy12321112122xxcdxexxxyx8．物体在冷却的过程中温度)(tT的变化率)(tT与物体本身的温度和环境温度之差成正比，比例系数为常数0k.现在)0(t把一个温度为50度的物体放在温度始终保持恒温20度的房间内，求此物体温度随时间的变化规律.解：kkTtT20)(kdtTdT20201cktT20ln500T30lnc规律：2030kteT9．设,,,,21是实常数，且21,0，证明下列函数组在),(上线性无关：（1）xxxe,e；（2）xxsin,cos；（3）xxaxaxsine,cose；（4）xxxx221e,e,e解：（1）xxeexx1常数线性无关（2）xsincosctgxx常数线性无关（3）xxsinexcoseexexctgβββ常数线性无关（4）三者线性无关。10．求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：（1）023yyy；（2）0252yyy；（3）096yyy；（4）054yyy；（5）0yyy.解：（1）023yyy由特征方程0)2)(1(232得二特征根是2,121，这表明方程23yy有2个线性无关的特解xe与xe2，从而方程023yyy的通解是xxececy221其中21,CC是两个任意常数.（2）2242124r2221qpprqpp通解为x2122x-1eecyc（3）32r21pr通解为：3xxce)(cy21（4）054yyy由特征方程0542得有2个共轭复根ii2,221，这表明方程有2个线性无关的特解，xxxxsinecose22与，从而方程的通解为：xxCxCy221e)sincos(其中21,CC为任意两个常数.（5）ir23211ir23212通解为xcxceyx23sin23cos212111．求下列二阶常系数齐次线性微分方程初程问题的特解：（1）1(0),1(0),044yyyyy；（2）1)0(,2)0(,094yyyy.解：（1）2221prr通解为：2x21e)(cyxc则2)(xecec)2(ec2x22x22x1y1)0(y即1cc221又1)0(y1c1，3c2特解为：2xe)31(xy（2）irir232321通解为：xx23sinc23coscy21则2323cosc2323sinc21xxy1)0(y即1c232，32c22)0(y2c1通解为：xxy23sin3223cos212．求下列二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：（1）11554xyyy；（2）2xyy；（3）xyy3e302；（4）xyyy144127；（5）xyysin4；（6）xxyyycos23；（7）23e379xyyx；（8）2e2xyyx；（9）xxyy22；（10）xxyyyxcos25e22.解：（1）设特解10*bxby则115)(54100xbxbb则3,110bb3*xy其对应齐次线性方程的通解21ir，ir22则通解为)sincos(e212xxcxcY非齐次方程的通解为3)sincos(e212x*xxcxcYyy（2）xxeccyx2321（3）易知特解xey3*2而其齐次方程的通解01r22rxexcY221通解为xxeeccyYy3221*2（4）易知特解712*xy而其齐次方程的通解41r32rxxexecY4231通解为：7124231*xececyYyxx（5）xxxcxccos2sincosy21（6）xxxxececyxxsin501715cos5065221（7）设特解为：xexbxay3*)sincos(xxycossin6*则xexbaexabexxxcos37sin)6(cos)6(3331a6bxxececY3231通解为：xxececxxyYy3231*cossin6（8）易知xeyy2的通解为)(1211*1xxxececxeYyy而2xyy的通解为：)()2(2122*22xxecexxYyy22xeyyx的通解为：xxxececxxeyyy