数学建模综合评价模型

综合评价方法及其应用一、什么是综合评价问题历年竞赛题（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2001-B:公交车调度问题；（3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；（6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题；（7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题；（8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题；（9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。1、综合评价的目的综合评价一般表现为以下几类问题：ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，但不同于复合分组（重叠分组）；ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。当然必须有参考系。构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。2、构成综合评价问题的五个要素（1）被评价对象被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象（或系统），分别记为12,,,(1)nSSSn。评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有m个评价指标（或属性），分别记为12,,,(1)mxxxm，即评价指标向量为12(,,,)Tmxxxx。2、构成综合评价问题的五个要素（2）评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。2、构成综合评价问题的五个要素（3）权重系数每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用jw来表示评价指标(1,2,,)jxjm的权重系数，则应有0(1,2,,)jwjm，且11mjjw。（4）综合评价模型对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为12(,,,)Tmxxxx，指标权重向量为12(,,,)Tmw，由此构造综合评价函数为(,)yfwx。如果已知各评价指标的n个观测值为{}(1,2,,;ijxin1,2,,)jm，则可以计算出各系统的综合评价值()(,)iiyfwx，()12(,,,)iTiiimxxxx(1,2,,)in。根据(1,2,,)iyin值的大小将这n个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。（5）评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。2、构成综合评价问题的五个要素3、综合评价的一般步骤1．确定综合评价的目的（分类？排序？实现程度？）2．建立评价指标体系3.对指标数据做预处理（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如何使指标一致化的问题；•（2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理——计算单项评价值。4．确定各个评价指标的权重5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。1.评价指标类型的一致化极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。-定性指标二、评价指标的规范化处理一般说来，在评价指标12,,,(1)mxxxm中可能包含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和“区间型”指标。1、评价指标类型的一致化1.1将极小型化为极大型倒数法：平移变换法其中jjxx1'jjjxMx'ijnijxM1max1.2将居中型化为极大型对于居中型指标)min(),max(2,)(22,)(22'ijjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxmxMMxmMmMxMmMxmmMmxxmMx＝其中大型指标，令为最好，要将其化为极取中间值jx对某个区间型数据指标x，则1,1,1,axxacxaxbxbxbc其中[,]ab为x的最佳稳定区间，max{,}camMb，M和m分别为x可能取值的最大值和最小值。•1.3将区间型化为极大型1.4定性指标的量化处理方法在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。如何对有关问题给出定量分析呢？按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如A，B，C，D，E。如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等级:{v1,v2,v3,v4,v5}。譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为{很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意}将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函数：53,ln31,])(1[)(12xbxaxxxfba其中ba,,,ba为待定常数．53,ln31,])(1[)(12xbxaxxxfba其中ba,,,ba为待定常数．当“很满意”时，则隶属度为１，即1)5(f；当“较满意”时，则隶属度为8.0，即8.0)3(f；当“很不满意”时，则隶属度为0.01，即01.0)1(f．计算得,3915.0,8942.0,1086.1aba3699.0b。则53,3699.0ln3915.031,)8942.0(1086.11)(12xxxxxf根据这个规律，对于任何一个评价值，都可给出一个合适的量化值。据实际情况可构造其他的隶属函数。如取偏大型正态分布。53,3699.0ln3915.031,)8942.0(1086.11)(12xxxxxf2.评价指标的无量纲化二、评价指标的规范化处理在实际中的评价指标12,,,(1)mxxxm之间，往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。2.评价指标的无量纲化假设m个评价指标12,,,mxxx，在此不妨假设已进行了类型的一致化处理，并都有n组样本观测值(1,2,,;1,2,,)ijxinjm，则将其作无量纲化处理。（1）标准差方法:令ijjijjxxxs(1,2,,;1,2,,)injm，其中1221111,[()](1,2,,)nnjijjijjiixxsxxjmnn。显然指标(1,2,,;1,2,,)ijxinjm的均值和均方差分别为0和1，即[0,1]ijx是无量纲的指标，称之为ijx的标准观测值。2.评价指标的无量纲化（2）极值差方法:令ijjijjjxmxMm(1,2,,;1,2,,)injm，其中11max{},min{}(1,2,,)jijjijininMxmxjm。则[0,1]ijx是无量纲的指标观测值。（3）功效系数法:令ijjijjjxmxcdMm(1,2,,;1,2,,)injm，其中,cd均为确定的常数。c表示“平移量”，d表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则[,]ijxccd。譬如若取60,40cd，则[60,100]ijx。为了全面地综合分析评价被评价对象的运行（或发展）状况，如果已知n个状态向量（即n组观测值）()12(,,,)iTiiimxxxx(1,2,,)in，则根据m个评价指标的实际影响作用，确定相应的权重向量12(,,,)Tmw，且选择合适的数学方法构造综合评价函数（即综合评价模型）(,)yfwx，由此计算综合评价指标函数值()(,)(1,2,,)iiyfinwx，并按(1,2,,)iyin取值的大小对n个系统进行排序或分类。问题:如何来构造合适的综合评价模型？三、综合评价模型的建立方法线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。三、综合评价的数学模型1.线性加权综合法线性加权综合法:用线性加权函数1mjjjywx作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。三、综合评价模型的建立方法线性加权综合法的特点：（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；（3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；（4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。1.线性加权综合法2.非线性加权综合法非线性加权综合法:用非线性函数mjwjjxy1作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。其中jw为权系数，且要求1jx。非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。主要特点:（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，（2）乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感。适用条件：--各指标间有较强关联性。三、综合评价模型的建立方法3.逼近理想点（TOPSIS）方法实际中，经常会遇到这样的一类综合评价问题，即首先设定系统的一个理想（样本）点),,,(**2*1mxxx，然后对于每一个被评价对象与理想点进行比较。如果某一个被评价对象),,,(21imiixxx在某种意义下与理想点),,,(**2*1mxxx最接近，则可以认为被评价对象),,,(21imiixxx就是最好的。基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法（Thetechniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution，简称为TOPSIS）。4、模糊综合评价法四、层次分析模型背景•日常工作、生活中的决策问题•涉及经济、社会等方面的因素•作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化•Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)•AHP——一种定性与定量相结合的