第七章-布朗运动.

LOGO第六章布朗过程布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解释是爱因斯坦于1905年给出，他证明，假设浸没的粒子连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解释。1918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。LOGO§1基本概念和性质1[/]()()(1)::1-1ttiXtxXXtxXor时间间隔，步子大小其中1)(,0)(iiXVarXE][)())((,0))((2ttxtXVartXE对称随机游动：每个单位时间等可能的向左或向右走一个单位步子。加速此过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。若以正确的方式趋于极限，得到的就是布朗运动。20,ΔxΔt,E(X(t))Var(X(t))t若令可得由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质：（1）X(t)是正态的，均值为0，方差为（2）（3）2t化独立）游动在不重叠时间内变有独立增量（因为随机}0),({ttX{(),0}Xtt有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）22222()0()[()(()()())][()],,,[()()()()][()],XXXXtEXtDtDXttEXsXsXtXsEXssstCstRstEXsXtXtXtEXttst布朗运动的数字特征:（－＋）2,,0minstst布朗运动性质：（1）马尔可夫性；（2）标准布朗运动：})(|)({})(|)()({}0),(,)(|)()({}0),(,)(|)({xsXastXPxsXxasXstXPsuuXxsXxasXstXPsuuXxsXastXP)()()(),,(112111121nntttttnxxfxxfxfxxfnn()Xtt若为布朗运动，均值为0，方差为，显然，条件分布是正态分布，均值和方差为2()s.XttX(t)BX(s)t例：设为布朗运动，均值为0，方差为，求给定时，的条件分布，其中)(2)/(exp)(2)(2exp)()()()|(22221/ststBsxtKstxBsxKBfxBfxfBxftststs解：条件密度是：[()|()]/(()|())()/EXsXtBBstVarXsXtBstst：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t％的竞赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设Y(t)可以有效地用方差参数为的布朗运动建模。求：（1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先秒，问他取胜的概率是多少？（2）如果内道竞赛者在竞赛中领先秒获胜，问他在竞赛中点领先概率是多少？2解：（1）（2）需要计算9213.0)2(}22/)2/1({})2/1({})2/1()1({})2/1(|)2/1()1({})2/1(|0)1({YPYPYYPYYYPYYP})1(|0)2/1({YYPstY(t)CY(s)首先需要确定，在时，给定时的条件分布。2()()/,{(),0}()/()/(-)/()()()/()/XtYtXttXtCXssCtststYtCYsXssCtstst若令则是标准布朗运动由例2，可得当给定时，的条件分布是均值为，方差为的正态分布。因此，给定时，的条件分布是均值为，方差的正态分布。8413.0)1(}0)4/,2/({})1(|0)2/1({2NPYYP因此，)1())1(),1(())(),1(())1(),(())(),(())1()(),1()(())(),((tsstststsXXstCovtXXsCovXsXtCovtXsXCovtXtXsXsXCovtZsZCov{(),0},,,(),,()nnXttttXtXt随机过程称为高斯过程，若对一切有多元正定义：态分布。（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高斯过程。由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动也完全由其均值和协方差决定。0,((,()),,0EXtCstCovXsXtminstst{(),0}{(),01|(1)0}XttXttX若为布朗运动过程，条件随机过程是高斯过程，称之为定义：布朗桥。[()|(1)0]0[((),())|(1)0][()()|(1)0](1-),1EXsXCovXsXtXEXsXtXstst布朗桥过程完全由其边际均值和协方差确定4()()()-(1){(),01}.XtZtXttXZtt例：设为布朗运动，则时，是布朗桥{(),0}01.ZttE(Z(t)stCov(Z(s),Z(t))s(t)证明：由于显然是高斯过程，需要验证的只是及时，下：前者显然，后者计算如(){:()24}2-4[]BtTMintBttTtET例2：设为一标准布朗运动，令即是标准布朗运动首次击中的时间。用鞅的停止定理求.[()][(0)]0()2-4,2-4[]0[]1/2EBTEBBTTETET证明：由鞅的停止定理由所以，求得LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO分布可以如下得到：中达到的最大值。它的量是过程在另一个感兴趣的随机变],0[ttayatsdyetTPasXP/2/0222(}{})({max由连续性）（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。例如，假设Xn是某个股票在时刻n的价格，那么假设是独立同分布也许是合理的。1,/1nXXnn令所以迭代给出niinXYX10)ln()ln()ln(于是。近似的是几何布朗运动所以后，近似于布朗运动，也将如此，在适当规范是独立同分布的，由于iiiXXYlnln[].xxTTxxEe以记漂移布朗运动击中的时间。对时，计算它的矩母函数[exp{}][exp{(}][exp{}][exp{(}][exp{}][exp{}]xyxxyxxxyxxyETETTTETETTETET首先计算：（由独立增量性）（由平稳性）[]0xTcxEeec意味着：，对某个()[],()()()xTfxEefxyfxfy令：则()(0)cYXhXf下面确定，对取条件，可得满足的微分方程()[exp{()}]()[()]()()hxYfxEhToheEfxYohohhx其中是到时刻已经击中的概率。2()[()'()''()/2]()[()'()''()/2]()hhxfxeEfxfxYfxYohefxfxhfxhoh将上式点有泰勒级数展开，形式的表示为：1(),()()(1)'()''()/2()hehohfxfxhhfxfxhoh利用给出0()'()''()/2hhfxfxfx除以并令得()2cxcxcxcxfxececee又因为，代入可得：2220cc或2222cc从而求得或－20,02cc由于可见当时2[]exp{(2)}xTEex所以{(),0}01max()limsttXttXst定理：若是漂移系数为，的布朗运动过程，则以概率（六）积分布朗运动0{(),0}{(),0},()()tXttZttZtXsds若是布朗运动，则过程其中称为积分布朗运动。，则的变化率遵循布朗运动的价格，为时刻设型，品价格随时间变化的模际中发生，假设一种商为说明此过程如何在实)()(tZttZtdssXZZ(t)tXtZdtd0)()0()()(或刻划。计算由其均值和协方差函数是高斯过程，它的分布易证)(tZ62),min())()(()()())()(())(),((0))((])([))((20000000000stsduudyydydyduuydyduuXyXEdyduuXyXEtZsZEtZsZCovdssXEdssXEtZEstuustststtt若假设一种商品价格的百分比变化率遵循一个布朗运动，可得另一种形式积分布朗运动。0()()()()()(0)exp()()tWttdWtXtWtWtWXsdsdtXt设为时刻的价格，则或其中是布朗运动。()326(0)1()()0,263E(W(t))exp{/6}ZtWWtetttZttt取＝，得到由于是正态的，均值为，方差为可见、显然，遵循普通（漂移）布朗运动的变量X是关于时间和dz的动态过程，其中第一项为确定项，它意味着X的期望漂移率是每单位时间为。第二项是随机项，它表明对X的动态过程添加的影响（噪音）。这种噪音是由标准布朗运动的倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。3、标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1。2TTdtdzT漂移布朗运动（普通布朗运动）补充：伊藤(Ito)过程{(),0}()(,)(,)()XttXtdXaXtdtbXtdZZt定义：我们称是伊藤过程，若满足其中为标准布朗运动。22()(,)(,)(,)diffusionpro