一轮复习--三角函数图象与性质

三角函数的图象与性质xyo2ππ-π-2πxyo2ππ-π-2π1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是_______,_______,_______,_______,_________．在确定余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是_______,_______,_______,_______,_________．xyo232232xyo232232(0,0)(,1)2π(,0)π3(,1)2π(2,0)π(0,1)(,0)2π(,1)π3(,0)2π(2,1)π2．三角函数的图象和性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域图象{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}RR值域R对称性对称轴：对称轴：对称中心：周期x＝kπ＋π2x＝kπ(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)(k∈Z)(kπ，0)(k∈Z);对称中心：对称中心：(kπ＋π2，0)(k∈Z)[－1,1][－1,1]2π2ππ；单调性单调增区间单调减区间单调增区间；单调减区间单调增区间奇偶性[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)奇函数奇函数偶函数1.函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A.－32，32B.－32，3C.－332，332D.－332，3解析：当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即此时函数f(x)的值域是－32，3.答案：B2．函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.答案：x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z3．当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析：∵x∈π6，7π6，∴sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78.∴当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.答案：782[类题通法]1．三角函数定义域的求法2．三角函数值域的不同求法(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．(1)利用sinx和cosx的值域直接求；求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．[典例]求下列函数的单调递减区间：[解](1)由2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈Z.故函数y＝2sinx－π4的单调减区间为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．(1)y＝2sinx－π4；(2)y＝tanπ3－2x.注意整体化思想(2)把函数y＝tanπ3－2x变为y＝－tan2x－π3.由kπ－π22x－π3kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π62xkπ＋5π6，k∈Z，即kπ2－π12xkπ2＋5π12，k∈Z.故函数y＝tanπ3－2x的单调减区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)．误区警示解答本题易直接由得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性若将本例(1)改为“y＝2sinx－π4”，如何求解？解：画出函数y＝2sinx－π4的图像，易知其单调递减区间为kπ＋3π4，kπ＋5π4(k∈Z)．1．三角函数单调区间的求法(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.注意区分下列两题的单调增区间的不同：三角函数的单调区间的求法[类题通法](1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1．设ω0，若函数f(x)＝sinωx2cosωx2在区间－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是()A.0，23B.0，32C.32，＋∞D．[1，＋∞)[针对训练]解析：f(x)＝sinωx2cosωx2＝12sinωx，若函数在区间－π3，π3上单调递增，则T2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈0，32，故选.B2．函数y＝cos2x＋π6的单调递增区间为________．解析：函数y＝cosx的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.由2kπ－π≤2x＋π6≤2kπ，k∈Z，得kπ－7π12≤x≤kπ－π12，k∈Z.答案：kπ－7π12，kπ－π12(k∈Z)正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：1求三角函数的对称轴或对称中心；2由三角函数的对称性求参数值；3三角函数对称性的应用.角度一求三角函数的对称轴或对称中心1．当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A0)取得最小值，则函数y＝f3π4－x()A．是奇函数且图像关于点π2，0对称B．是偶函数且图像关于点(π，0)对称C．是奇函数且图像关于直线x＝π2对称D．是偶函数且图像关于直线x＝π对称解析：∵当x＝π4时，函数f(x)取得最小值，∴sinπ4＋φ＝－1，∴φ＝2kπ－3π4(k∈Z)．∴f(x)＝Asinx＋2kπ－3π4＝Asinx－3π4.∴y＝f3π4－x＝Asin(－x)＝－Asinx.∴y＝f3π4－x是奇函数，且图像关于直线x＝π2对称．答案：C角度二由三角函数的对称性求参数值2．(1)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有fπ8＋t＝fπ8－t，且fπ8＝－3，则实数m的值等()A．－1B．±5C．－5或－1D．5或1解析：由fπ8＋t＝fπ8－t得，函数的对称轴为x＝π8.故当x＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m＝－3或2＋m＝－3，即m＝－1或－5.答案：C(2)已知ω0，函数f(x)＝cosωx＋π3的一条对称轴为x＝π3，一个对称中心为点π12，0，则ω有()A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1解析：由题意知π3－π12≥T4，T＝2πω≤π，ω≥2，故选.A[课堂练通考点]1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝cos2xB．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝sin2x－π2解析：选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为π2，故选.B2．已知函数f(x)＝2sinωx－π6(ω0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为()A.kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)B.2kπ－π6，2kπ＋π3(k∈Z)C.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)D.kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)解析：根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．答案：D3．函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为________．解析：由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．答案：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)4．函数y＝tan2x＋π4的图像与x轴交点的坐标是________．解析：由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ2－π8(k∈Z)．∴函数y＝tan2x＋π4的图像与x轴交点的坐标是kπ2－π8，0.答案：kπ2－π8，05．(2013·陕西高考)已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.解：f(x)＝cosx，－12·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cosπ6sin2x－sinπ6cos2x＝sin2x－π6.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．(1)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12.因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是－12.