4机械臂的雅可比-机器人技术基础(熊有伦)

工业机器人技术机电工程学院黎萍4.1雅可比矩阵4.2力雅可比在位移研究的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系----雅可比矩阵。4.3雅可比的若干问题讨论4.操作臂的雅可比4.1雅可比矩阵•微分运动•雅可比矩阵的定义及意义•雅可比矩阵的构造•PUMA560的雅可比4.1.1微分运动对机械手进行操作时，经常涉及到机械手位置或姿态的微小变化，这些变化可由描述机械手位置的齐次变换矩阵的微小变化来表示。把对于一个坐标系的微分变化变换为对另一个坐标系的微分变化。1.微分平移和微分旋转{},++=(,,)(,)(4.1)(,,),,(,)TTTTTT已知坐标系可表示为表示基系中微分平移变换，表示基系中绕轴的微分旋转的变换。xyzxyzxyzddTransdddRotfdTransddddddRotfdfd=(4.2[(,,)(,))]=ITTTxyzTransdddRotfdd4.1.1微分运动100010(,,),0010001d微分平移矢量xyxyzxyzzddTransdddidjdkdd00(,)00001fxxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzzffverscffversfsffversfsffversfsffverscffversfsRotffversfsffversfsffversc000limsin,limcos1,lim0,对于微分变化，代入上式vers1010(,)100001fzyzxyxfdfdfdfdRotdfdfd100101000010100100=001100010000100(,,)(,0100010)000000fIxyzxzyyzxzyxzyxzxyyxzdfdfddfdfddfdfdfdfddfdTransdddRotfdddfdfdd0000000zyxzxyyxzddd4.1.1微分运动,,,fxyzxxyyzzdxyzfdfdfd绕的微分旋转等价于分别绕三个轴和的微分旋转，，和4.1.1微分运动+=(,,)(,)(4.3{}(,,)(,){)}TTTTT也可用的微分平移和微分旋转来表示微分变换表示对于给定坐标系分平移变换，表示给定坐标系绕轴的对于给微分旋定坐标系的微转的变换。TTTxTTTTxyyzTzTransdddRotfddTransdddRotfdfd=[(,,)(,)](4.4)TTITTTTTTxyzdTransdddRotfd0000000TTTzyxTTTTzxyTTTyxzddd类似地可得：4.1.1微分运动,,,,,TxyzxyzddddDδ刚体或坐标系的微分运动矢量由微分移动矢量和微分转动矢量组成,dδxyzxyzidjdkdijk4.1.1微分运动【例题】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为001101005,100.5,00.1001000001AdδA试求微分变换ijkijkd000.110000=,-0.1000.50000TT解：，由d000.110011000.101000010050000-0.1000.50100000.10.5000000010000AA有d4.1.1微分运动2.微分运动的等价变换经常需要将一个坐标系内的微小变化，变换为另一个坐标系的等效表达。-1====TTTTTTTT据和，当两坐标系等价时，，变换后得：，TTTdd4.1.1微分运动++++++++++=+++++0000zyyzzyyzzyyzzyyzxzxxzzxxzzxxzzxxzyzyyzzyyzzyyzyxxyznnooaappdnnooaappdnnooaappd()()()()()()()()=()()()()0000δnδoδaδpdδnδoδaδpdδnδoδaδpdxxxxyyyyzzzz00=000000001Tzyxxxxxzxyyyyyyxzzzzzdnoapdnoapdnoap4.1.1微分运动和广义速度-1()()()()()()()()=()()()()00010000()()()()()()(=TTnpδnδoδaδpdopδnδoδaδpdapδnδoδaδpdnδnnδonδanδpdoδnoδooδTxyzxxxxxyzyyyyxyzzzzznnnoooaaa)()()()()()0000aoδpdaδnaδoaδaaδpd()(),()0abcbcaaac由0()()()()0()()=()()0()0000δnoδanδpndnδnoδoaδpodoδanδoaδpada0()0()0()0000δaδoδpndnδaδnδpodoδoδnδpada4.1.1微分运动和广义速度0()00()00()000000000=()=()=()==δaδoδpndnδaδnδpodoδoδnδpadaδpndnδpodoδpadaδnδo对比和，，TTTzyxTTTTTzxyTTTyxzTxTyTzTxTydddddd=δaTz()()()()()()()()()000000000pnpnpnpopopopapapaTxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxyzxxTxyzyyTxyzzznnnddoooddaaaddnnnoooaaa()()=()=(())=()=(())=()=(())======abccabδpndnnδpdδpodooδpdδpadaaδpdδnnδδooδδaaδ由矢量性质，，，，TTxxTTyyTTzzTTxxTTyyTTzzdddddd4.1.1微分运动则相对坐标系{T}的微分运动为：()0ddRRpδδTTTTTSR00()0zyzxyxppppSppp反对称阵()()()()()()()()()000000000pnpnpnpopopopapapaTxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxyzxxTxyzyyTxyzzznnnddoooddaaaddnnnoooaaa4.1.1微分运动【例题2】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为001101005,100.5,00.1001000001{A}Adδ试求对坐标系的微分平移和微分旋转ijkijk100.5,00.10010001100105000.10+001100.51050ijkijkijkijkijkijkijkijkijkdδnoapδpddd=(())=(())=(())00.51,0.100===TxTyTzAATxTyTzdddijkijknδpdoδpdaδpddδnδoδaδ等价微分平移和微分旋转为：，，0000000.10.500.10100000011000001005000.10.5010000.1010001000000.1010000000.10.50000AATTd4.1.1微分运动相应地，广义速度的坐标变换为TTT()0vvwwTTRRSpR0TTT()0vvwwAABAABBBBAABRSpRR任意两坐标系和之间广义速度的坐标变换为{}A{}B4.1.2雅可比矩阵的定义及意义()(4.1)xxqxq操作臂的运动方程表示操作空间与关节空间之间的位移关系)(Jqxxxqqq对时间求导，可得出与之间的微分关系表示末端在操作空间的速度，简称操作速度；为关节速度6Jqqx()为操作臂的雅可比矩阵，是的偏导数是关节速度向操作矩阵速度,的线性变换nn自由度机器人的速度雅可比121212121212.........()().........xqJqqnnnTxxxnyyynzzznXXXqqqYYYqqqZZZqqqqqqqqqqqq4.1.2雅可比矩阵的定义及意义(),1,2,6,1,2Jqiijjxijqijn第行第列的元素4.1.2雅可比矩阵的定义及意义刚体或坐标系的广义速度由线速度和角速度组成01limvdx=ωδtt00limlim()()dDxJqqJqqδttttd【例】图示为二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系:4.1.2雅可比矩阵的定义及意义12121212ddddddXXXYYY其微分1121211212csXllcYlls121212ddddXXXYYY写成矩阵形式1212XXYYJ令dddXYX12dddθ1121221211212212scllslsllclcJ对2R机器人，Jacobi为ddJXθ4.1.2雅可比矩阵的定义及意义对于关节空间的某些形位，操作臂的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂的奇异形位。可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位。122det(())Jqllsq4.1.2雅可比矩阵的定义及意义1121221211212212scJ