矩阵分析考试重点

1第一章线性空间和线性变换主要掌握以下内容：1、能给出常见线性空间的基；会求一个向量在给定基下的坐标；会求两组基的过渡矩阵2R3R(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)例1实数域上的线性空间的一组基10010000,,,00001001R22R例2实数域上的线性空间中的一组基21,,,,nxxx例3实数域上的线性空间中的一组基R[]nRx1212,,,,,nnP3习题1-5456121212,|VVVVVaaVaV设是线性空间的两个子空间，={且｝交空间12121122|VVaaaaVaV＋＝且和子空间2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数定理：设112{,}sVspanaaa,,212{}kVspan,,,121212{,,,,,}skVVspanaaa＋,,则：7习题1-782l1l2l93、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩阵表示;会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数1212()(,,,)Anmaaa，，，12121212,,,,nmaaaVVVVA设,，，分别是，的为在相应基基，是的线性映下的矩阵射，表示,则10112()((),(),,()()))(nRspanaaadimNdimRdimV定理：（1）（2）121()=(|RVVV定义：)＝｛（）｝()dimR——的值域，称为的秩11()|0NV(0)｛（）｝dim()N——的核，称为的零度11122,dimVVnVm1设：的线性映射，dimV121212,,,,,,,nmaaaVV与分别为的基，1nmn在这对基下的矩阵为A=(,,),则1212(){,,,,,,,,}mmnRspan1（）（）12{|0,R}()nnxAAxxxxxN1212(,,,))(nnxNxxx121314151617184、会计算线性变换的特征值与特征向量fA设线性变换的矩阵表示为，则是的特征值是的特征值0f0A12120               (,,) ,nnxxfx是的属于的特征向量120    nxxAx是的属于的特征向量19第二章矩阵与矩阵的Jordan标准形主要掌握以下内容：1、会求矩阵的Smith标准形：（1）初等变换法（2）行列式因子法（3）初等因子法2、会求矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P：（1）初等变换法（2）矩阵秩的方法4、掌握证明两个矩阵相似的方法：（1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3）有相同的初等因子5、会用Jordan标准形求矩阵的幂202-2设，证明：阶矩阵与相似。11aaAanaaBa021证明：计算A的行列式因子。显然下面看阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即()()nnDa1n1n111(1)1naa22容易计算出从而121121()()()1()1,()1,,()1,()()nnnnDDDdddda1()1nD同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是121121()()()1()1,()1,,()1,()()nnnnDDDdddda所以A与B相似。232-3设证明阶矩阵与不相似。n11aaAa11aaBa02411det(-)(),()(),det(-)()(1)()(1)()()(),nnnnnnnnnAIAaDaBIBaaDaABnAB证明：对矩阵而言，因故对矩阵而言,因故所以与的第阶行列式因子不相同，从而与不相似。25正整数使得，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根。证明：设的Jordan标准形为nnAInAA1211,1iiitiJJJJJ2-5设为数域上的阶方阵且存在AFn26即有可逆矩阵使得由于，所以有从而有Q1QAQJnAI111()nnnJQAQQAQQIQIninniikniJI27因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有，这表明为对角矩阵，所以与对角矩阵相似。iJ1niJA28282-6设为数域上的阶方阵且满足，证明：与对角矩阵相似。AFn2AAA1100J29即有可逆矩阵使得由于，所以有Q1QAQJ2AA212121()JQAQQAQQAQJ证明：设的Jordan标准形为A1211,1iiitiJJJJJ30从而即2,1,2,,.iiJJit2222112112iiiiiiiii31因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵iJ2ii1,0iiJ1100此矩阵仍然与相似。A34第三章内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵主要掌握以下内容：1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半正定矩阵5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵的关系：酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对称变换、正规变换、正定二次齐次353-17设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.证明:设为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有ABABBA0IABAQHAQQ361110()()()HHHHHHHHHHIABIQQBQQQQBQQQIQBQQIQBQ这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵,从而实部为零.同样可以证明另一问.HQBQHQBQ37习题3-19设是一个半正定的H-阵且证明:证明:设为的全部特征值,由于是半正定的,所以所有的.而且由于，一定存在某个特征值大于0，于是有A0A1AI12,,,nAA0i12(1)(1)(1)1nAI0A38习题3-20设是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵,证明:证明:由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得这样有0ABABBAQBHBQQ1111()()HHHHABAQQQQAQIQBQAQI39注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知从而11()HQAQ11()1HIQAQ11()HABBQAQIB403-21设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则证明:由于是一个正定H-阵,所以必存在AAIA酉矩阵使得12,0HinAUURnnUU41由于又是酉矩阵,所以A1i这样必有,从而1iAI423-22证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为其中,ABAB12()(),(,,,)HTnfXXABXXxxx43由于都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。,AB12,,,nxxx()()0HHHfXXABXXAXXBXAB44习题3-23设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得这表明是可逆的.于是另一方面注意矩阵仍然为正定H-阵,而矩阵为H-反阵,由上面的例题结论可知ABABAQHAQQA11ABAAABAIAB1AB45矩阵的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而即所以可逆1AB1IAB10IAB0ABAB4644230123012123[][]{()|(),   84   0,  0,}  RxRxVfxfxkkxkxkxkkkkkk一．（分）表示由次数小于的多项式组成的线性空间。求的子空间的基和维数。