流体力学-第一讲-场论与张量分析初步

2020/3/111高等流体力学主讲人：倪玲英2020/3/112工程流体力学从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论基础，并进行计算。静力学运动学以理想流体为主动力学引言以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。运动学动力学高等流体力学以实际流体为主对于实际流体讨论了管流阻力计算,是在理想流体得出规律基础上进行修正,并结合实验.2020/3/113主要内容：第一章场论与张量分析初步第二章流体运动学第三章流体力学基本方程组第四章粘性流动基础第五章Navier-Stokes方程的解第六章边界层理论第七章流体的旋涡运动第八章湍流理论2020/3/114第一章场论与张量分析初步第一节场论简述第二节张量初步第三节雅可比行列式2020/3/115第一节场论简述•基本概念•场的几何表示•标量场的梯度•向量的散度•向量的旋度•哈密顿算子▽和场论的基本运算公式2020/3/116一基本概念•1.场（field）：•设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。•标量场（scalarfield）：•向量场（vectorfield）：g=f(r,t)•均匀场（homogeneousfield）：•非均匀场（non-homogenousfield）：•定常流场（steadyfield）：•非定常流场(unsteadyfield)：),(trf),(trgcf)(rf)(rf),(trf2020/3/117(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表示，它独立于坐标系的选择。流体的温度，密度等均是标量。(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示,因此向量是三维的量。速度,加速度是向量.常用黑体字母x、u表示空间坐标位置向量和流速向量。也用类似表示。xu、2020/3/118x=x1e1+x2e2+x3e3对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以写为：kujuiuuzyx向量的加减：cba＋bca2020/3/119矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：bababa,cos标量zzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiababababababazzyyxx,cos功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以位移的大小.2020/3/1110cabacbababababa，b、ababa，b、a分配律表示正交投影用在如则平行如则正交如43201222zyxaaaa222zyxbbbbbambmabam2020/3/1111矢量的矢量积(向量积)（叉乘）(外积)：babacbacba,sincabacbabambmabambaba//0abba－组成平行四边行的面积右手法则，拇指方向即为c方向，由a指向b2020/3/1112zyxzyxzyxzyxbbbaaakjikbjbibkajaiaba平面面积可作为一个向量nss2020/3/1113数量三重积：baczyxzyxzyxcccbbbaaacbacbacbabcacbaacbbaccba循环置换向量次序,结果不变.改变循环向量次序,符号改变.2020/3/1114数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积。cbabac=0，是cba,,共面的充分条件2020/3/1115向量三重积：cbaacbbcacbacbabcacba括号不能交换或移动2020/3/1116二、场的几何表示1、scalarfield：(1)用等值线（面）表示令：(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况000),(ftrft111),(ftrft等值线（等位面）图变化快变化慢二、场的几何表示2、vectorfield：大小：标量.可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。方向：采用矢量线来几何地表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。矢量线的描述是从欧拉法引出2020/3/1118矢量线方程：设是矢量线的切向元素，则据矢量线的定义有直角坐标：则有：0rdadzkdyjdxirdzyxakajaia0zyxaaadzdydxkjird所以有：（向量线方程）zyxadzadyadx向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。dtudzudyudxudzudyudxzyxzyx迹线方程流线方程迹线的描述是从欧拉法引出2020/3/1120三、标量场的梯度方向导数：函数z=f(x,y)在一点P沿某一l方向的变化率22yx),(),(lim0yxfyyxxflf方向导数sincosyfxflf方向导数Φ为x轴到l的转角coscoscoszfyfxflf＋三元函数与方向导数关联的是梯度与梯度关联的是方向导数2020/3/1121在过P点所有可能的方向中存在一个方向导数变化率最大的方向。梯度（gradient）就是这样的一个向量，它的方向即为方向导数变化率最大的方向而其大小则为这个最大变化率的数值。记为grad沿梯度方向的方向导数达到最大值2020/3/1122直角坐标系中：zkyjxikzjyixgrad＝是一个算子（operator），它具有向量与微分的双重性质，称为哈密顿算子（Hamiltonoperator）物理量沿任一方向（其单位向量为n0）的变化率为：gradn0式中“.”表示点乘2020/3/1123梯度意义的证明：如图，设方向单位向量函数沿方向的变化为：另：与同向时，最大001100),cos()()(cos)()(limlim1sgradsnnnsnMMMMMMMMsMMMMn0ssscos,cos),cos(10MMMMsnsn而则0sss1ccMM1M'流场中两相邻等势线沿梯度方向的方向导数达到最大值2020/3/1124定理证明:a）满足关系式：证明：=gradgradrdddzzdyydxxdrdgradkzjyixgradkdzjdyidxrd2020/3/1125b)若任给一封闭曲线L，，且是矢径的单值函数，则：证明：gradar0Lrda0drdgradrdaLL梯度的性质：①标量场不均匀程度的量度；②梯度方向和等位面的法线方向重合，指向函数值增大的方向。③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。④梯度的方向是标量变化最快的方向。2020/3/1126梯度的基本运算法则有：CC(C为常数)2121122121ff2020/3/1127四、向量的散度(divergence)1、预备知识a.向量通过曲面的通量（flux）：b.Gauss定理：若在有一阶连续偏导数，则：sssdadsnaQzyxaaa,,vsdvzayaxasdazyvxs)(2020/3/11282、散度的定义于是Gauss定理可以写作：azayaxavsdaadivzyxsvlim0vzyvxssdvadvzayaxasdadsna)()(由封闭曲面s流出的通量可以看成是体积V的膨胀量。所以散度也就是流体的体积膨胀量。散度是标量，而不是向量。2020/3/1129div0A的场称为无源场。其性质：（1）无源矢量经过矢量管任一截面上的通量保持同一数量；（2）矢量管不能在场内发生或终止；（3）无源矢量经过同一张于已知周线L的所有曲面S上通量相同，即通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。散度的基本运算法则为：2121AAAAAAA2020/3/1130例1：任一不可压流场，，在流场中一点M取微元体，则密速（密度速度）变化量点源：·Source点汇：·Sink例2：令有dxdydzadxdydzzadxdydzyadxdydzxazyx)(][0a0azkyjxir3)()(zkyjxizkyjxir),,(zyxa2020/3/1131五、向量的旋度（rotation）1、预备知识1)向量的环量（Circulation）a)(dzadyadxardazyLxL如向量为速度，速度环量说明：（1）速度环量表示在某一瞬时所有在AB线上的质点沿AB运动的趋势，和力所作功的概念相类似，即可以理解为速度所作的功。（2）速度环量是个标量，具有正负号。当速度方向和AB曲线方向同向时（成锐角）为正，异向时（成钝角）为负。线积分方向相反的速度环量相差一个负号，即ABBArdurdu－2020/3/11322)Stokes定理：(L围成S，S单连通）向量为速度，为二元流动：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。这就是斯托克斯（G·G·Stokes）定理。通式：dsznyaxaynxazaxnzayardaSxyzxyzL).cos(),cos(),cos(dA2dA2dxdyyuxudnzxy＝2020/3/11333）向量场的旋度：向量场a中任一点M，过M点任一方向n，以n为法向作一微小面积S，其边界为l。若极限SdlalS0lim存在，称为向量场a在M点处沿n方向上的环量面密度。在过M点的所有方向中存在一个环量面密度最大的方向。旋度就是这样一个向量，它的方向即环量面密度最大的方向，其大小即为这个最大的环量面密度的值，记为arot。2020/3/11342、旋度的定义=于是Stokes定理可以写成：aacurlaaazyxkjiarotzyx)()()(yaxakxazajzayaixyzxyzLSsdarotrda2020/3/1135例题：0r0)()(zkyjxizkyjxi0zyxzyxkji2020/3/1136六、哈密顿算子▽和场论的基本运算