正余弦定理的综合应用及答案

1正余弦定理的综合应用1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3,cossinsincos0bABcAAC．（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为32，求sinsinAC的值．2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC中，点D在AC边上，且3ADDC，7AB，3ADB，6C.（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tanABC的值.【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.3.【海南省2018届二模】已知在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且3cossincosbAaACsincos0cAA.（1）求角A的大小；（2）若3a，12B，求ABC的面积.4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知coscoscos3sincosCABAB．2（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若1ac，求b的取值范围．5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中,分别为角的对边，且.（1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长.7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos2cosCacBb，且2ac．（1）求角B；（2）求边长b的最小值．8.【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且cos2cos3cosabcABC．（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为3，求a的值．3正余弦定理的综合应用答案1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得sincosCcB，再根据正弦定理得sincos3BB，即tan3,3BB（2）由ABC的面积为32，得2ac，再根据余弦定理得222222232cos3bacacBacacacac，解得3ac，因此结合正弦定理得sin3sinsin2BACacb2.【解析】（Ⅰ）如图所示，366DBCADBC，故DBCC，DBDC设DCx，则DBx，3DAx.在ADB中，由余弦定理2222cosABDADBDADBADB,即2221732372xxxxx，解得1x，1DC.（Ⅱ）在ADB中，由ADAB，得60ABDADB，故362ABCABDDBC，在ABC中，由正弦定理4sinsinACABABCACB，即471sin2ABC，故2sin7ABC，由,2ABC，得3cos7ABC，22tan333ABC.3.【解析】（1）由3cossincosbAaACsincos0cAA及正弦定理得，sinsincoscossinAACAC3sincosBA，即sinsinAAC3sincosBA，又sinsin0ACB，所以tan3A，又0,A，所以23A.（2）由（1）知23A，又12B，易求得4C，在ABC中，由正弦定理得32sinsin123b，所以622b.所以ABC的面积为1sin2SabC16223332224.4【解析】（Ⅰ）由已知得coscoscos3sincos0ABABAB，即有sinsin3sincos0ABAB因为sin0A，∴sin3cos0BB．又cos0B，∴tan3B．又0B，∴3B，∴1cos2B（Ⅱ）由余弦定理，有2222cosbacaB．因为11cos2acB，，有2211324ba又01a，于是有2114b，即有112b5【解析】（1）由已知，得，5由余弦定理，得，所以，又，故；（2）由（1）知，由正弦定理，得，所以或（舍去）从而，所以的面积为．6【解析】（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，∴，又，所以，则C为锐角，所以，则，所以67【解析】（I）由已知cos2sinsin,cossinCACBB即cossin2sinsincos,CBACBsin2sincos,BCABsin2sincos,AAB△ABC中，sin0A，故1cos,.23BB（Ⅱ）由（I）,3B因此222222cosbacacBacac由已知22343bacacac2434312ac故b的最小值为1.8【解析】（1）cos2cos3cosabcABC，sinsinsincos2cos3cosABCABC，即tantantan23BCA，则tan2tanBA，tan3tanCA．又在ABC中，tantantantan1tantanBCABCBC．则22tan3tantan16tanAAAA，解得2tan1A，tan1A或tan1A，当tan1A时，tan2B，则A，B均为钝角，与πABC矛盾，故舍去，故tan1A，则π4A．7