圆方程、直线与圆、圆与圆位置关系高考题及详解

-1-/8圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P是圆22(3)(1)4xy上的动点，Q是直线3x上的动点，则PQ的最小值为()A.6B.4C.3D.2【解题指南】PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.【解读】选B.PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(到直线3x的距离为6,半径为2,所以PQ的最小值为426.2.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.12B.1C.2D.12【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.【解读】选C.因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-12,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.3.（2013·安徽高考文科·Ｔ6）直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（）A.1B.2C.4D.46【解题指南】由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。【解读】选C.由22(1)(2)5xy-+-=得圆心（1,2），半径5r=，圆心到直线x+2y-5+5=0的距离|1455|15d+-+==，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三-2-/8角形中，弦长222244lrd=-==。4.（2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C：22(2)(3)1xy，圆2C：22(3)(4)9xy，M、N分别是圆1C、2C上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为()A.425B.117C.226D.17【解题指南】根据圆的定义可知421PCPCPNPM,然后利用对称性求解.【解读】选A.由题意知,圆1C：22(2)(3)1xy，圆2C：22(3)(4)9xy的圆心分别为)4,3(),3,2(21CC,且421PCPCPNPM,点)3,2(1C关于x轴的对称点为)3,2(C,所以252221CCPCPCPCPC,即425421PCPCPNPM.5.（2013·广东高考文科·Ｔ7）垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第一象限的直线方程是（）A．20xyB．10xyC．10xyD．20xy【解读】选A.由题意知直线方程可设为0xyc（0c），则圆心到直线的距离等于半径1，即22|00|111c，2c，所求方程为20xy.6.（2013·陕西高考文科·Ｔ8）已知点M(a,b)在圆221:Oxy外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【解题指南】利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离，列出关系式，解之即可判断直线ax+by=1与圆O的位置关系.【解读】选B.点M(a,b)在圆.112222bayx外-3-/8221O(00)axby1d1ab圆心，到直线距离=圆的半径，故直线与圆相交.7.（2013·江西高考理科·Ｔ9）过点（2，0）引直线l与曲线2y1x相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）A.33B.33C.33D.3【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,△AOB为等腰三角形,所以AB的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而△AOB的面积可表示为圆心到直线的距离d的函数,借助二次函数思想可以求解出当△AOB的面积取最大值时的d值,进而可以求出直线的斜率.【解读】选B.曲线2y1x表示以(0,0)为圆心，以1为半径的上半圆.设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0，若直线与半圆相交，则k0，圆心到直线的距离为22kd1k（d1），弦长为2AB21d，△AOB的面积为21sABdd1d222d(1d)，易知当21d2时s最大，解222k1()21k得21k3，故3k3.8.（2013·山东高考理科·Ｔ9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可.【解读】选A.由图象可知，(1,1)A是一个切点，根据切线的特点可知过点A.B-4-/8的直线与过点（3,1）、（1、0）的直线互相垂直，213011ABk，所以直线AB的方程为121xy，即2x+y-3=0.二、填空题9.（2013·山东高考文科·Ｔ13）过点(3，1)作圆22(2)(2)4xy的弦，其中最短的弦长为__________【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点1,3的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.【解读】半径为2r，圆心为2,2，圆心到点1,3的距离2212322d,所求最短弦长为2222222【答案】22.10.(2013·浙江高考文科·T13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长.【解读】由2223,680,yxxyxy，解得11xy或39xy，所以两交点坐标为1,1和3,9，所以弦长22(13)(19)45l.【答案】45.11.（2013·江西高考文科·Ｔ14）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是.【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点.【解读】设圆的方程为222(xa)(yb)r，因为圆C经过点（0,0）和点（4，0），所以a=2，又圆与直线y=1相切，可得1br，故圆的方程为-5-/8222(x2)(yb)(1b)，将（0,0）代入解得3b2，5r2，所以圆的方程为22325(x2)(y)24.【答案】22325(x2)(y)24.12.（2013·湖北高考文科·Ｔ14）已知圆O：225xy，直线l：cossin1xy（π02）.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k.【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比较.【解读】半径为R=5,圆心到直线l的距离d=22151.2sincos故数形结合k=4.【答案】4.三、解答题13.(2013·江苏高考数学科·T17)如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl。设圆C的半径为1，圆心在l上。（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围。-6-/8【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用MA=2MO确定点M的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出a的取值范围.【解读】(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,2|31|1kk=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以22222)3(yxyx,化简得4)1(22yx,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤CD≤2+1,即1≤22(23)aa≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R。由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0,125].14.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。-7-/8（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若P点到直线yx的距离为22，求圆P的方程。【解题指南】(1)设出点P的坐标与圆P半径，利用弦长、圆心距、半径之间的关系求得点P的轨迹方程；（2）利用已知条件求得点P的坐标，从而求出半径，写出圆的方程.【解读】（1）设,Pxy，圆P的半径为r.由题设22222,3.yrxr从而2223yx.故P点的轨迹方程为221yx.(2)设00002(,),.22xypxy由已知得又P点在双曲线221yx上，从而得0022001,1,xyyx000220001,0.1.1,xyxyyx得此时圆的半径r=3.000220001,0.1.1,xyxyyx得此时，圆的半径r=3.故圆P的方程为222213-13xyxy或，15.（2013·四川高考文科·Ｔ20）已知圆C的方程为22(4)4xy，点O是坐标原点。直线:lykx与圆C交于,MN两点。（1）求k的取值范围；（2）设(,)Qmn是线段MN上的点，且222211||||||OQOMON。请将n表示为m的函-8-/8数。【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点，所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解，在第二问的处理上要注意222211||||||OQOMON的使用，从而寻找到,mn的关系.【解读】（1）将ykx代入22(4)4xy中，得22(1)8120()kxkx由22(8)4(1)120kk，得23k所以k的取值范围是(,3)(3,).（2）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为1122(,),(,)xkxxkx则22222212(1),(1)OMkxONkx，又22222(1)OQmnkm.由222211||||||OQOMON，得22222212211(1)(1)(1)kmkxkx，即21212222221212()2211xxxxmxxxx，由()式可知，12281kxxk，122121xxk，所以223653mk因为点Q在直线ykx上，所以nkm，代入223653mk中并化简，得225336nm.由223653mk及23k，可知203m，即(3,0)(0,3)m.根据题意，点Q在圆C内，则0n，所以223631518055mmn.于是n与m的函数关系为2151805mn((3,0)(0,3))m.