电路分析基础第4章

第四章动态电路的时域分析第四章动态电路时域分析4.1动态电路元件4.2动态电路方程4.3一阶电路的零输入响应4.4一阶电路的零状态响应4.5一阶电路的完全响应4.6阶跃函数与电路的阶跃响应4.7二阶电路分析4.8正弦激励下一阶电路的响应第四章动态电路的时域分析4.1动态元件4.1.2电容元件一、电容的定义i(t)+-u(t)C满足电荷量q与其端电压的关系为q(t)=Cu(t)的元件称为电容。电荷q—库仑（c）电压u—伏特（v）电容C—法拉（F）)()(tCutq线性时不变电容元件：该曲线为u-q平面上通过原点的一条直线，且不随时间变化。第四章动态电路的时域分析二、电容的VARdtduCdtdqi8Ω10V2ΩC8Ω10V2ΩdtduCdtdqi电容上的电流1、电容元件VAR的微分形式：)()(tCutq(2)电流为有限值，u必定是t的连续函数，而不能跃变。“电容电压不可突变”(1)通过电容的电流与该时刻的电压变化率成正比。直流电压，电容相当于开路。“隔直通交”第四章动态电路的时域分析dtduCdtdqidttiCtdu)(1)(从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0，得2、电容元件VAR的积分形式：tdiCtu)(1)(t时刻的电容电压与t时刻以前的电流的“全部历史有关”。————“记忆”电流，电容是记忆性元件初始时刻t0：diCtudiCdiCtuttttt000)(1)()(1)(1)(0diCtut0)(1)(0初始时刻t=0：？第四章动态电路的时域分析dttdutCutitutp)()()()()(3、电容的功率和能量)(21)(2tCutwC电容储存的能量≥0，且电容不消耗能量，它只与电源进行能量交换。电容是无源元件。)(21)(21)(21)()()()()()(222)()(tCuCutCuduCuddduCudpttuuttCui参考方向关联第四章动态电路的时域分析解：例1电路中,us(t)如图示,C=0.5F，求电流i，功率p(t)和储能wC(t)，绘出波形。0)2(220)(tttusstststt2211000110)(dtduCtisstststt221100第四章动态电路的时域分析0)2(220)(tttpstststt2211000)2(220)(tttusstststt2211000110)(tistststt221100电容储能公式：)(212tCuwCC=0.5F0)2(0)(22tttwCstststt221100第四章动态电路的时域分析4.1.1电感元件一、电感的定义满足磁链与其端电流的关系为Ψ(t)=Li(t)的元件称为电感。线性时不变电感元件：曲线为i-ψ平面上过原点的一条直线，且不随时间变化。－磁链，单位：韦伯（Wb）i－电流，单位：安培（A）L－电感，单位：亨利（H）)()(tLit第四章动态电路的时域分析二、电感的VAR1、电感元件VAR的微分形式：dttdiLdtdtu)()()()(tLit电感电压：电压为有限值，i必定是t的连续函数，而不能跃变。“电感电流不可突变”直流电流，电感相当于短路。“电感直流无效”(1)电感两端电压与该时刻电流变化率成正比。8Ω10V2ΩL6Ω8Ω10V2Ω6Ω第四章动态电路的时域分析dttuLtdi)(1)(从-∞到t进行积分，并设i(-∞)=0，得2、电感元件VAR的积分形式：初始时刻t0：初始时刻t=0：？dttdiLtu)()(duLtit)(1)(t时刻的电感电流与t时刻以前的电压的“全部历史有关”。————“记忆”电压，电感是记忆性元件duLtiduLduLtittttt000)(1)()(1)(1)(0duLtit0)(1)(0第四章动态电路的时域分析3、电感的功率和能量ui参考方向关联dttditLititutp)()()()()()(21)(2tiLtwL)(21)()()()()()(2)()(tLidiiLdddiiLdptwtiittL电感储存的能量≥0，电感不消耗能量，电感是无源元件。第四章动态电路的时域分析解：例2电路中,i(t)如图示,L=2H，求电流i(t)，功率p(t)和储能wC(t)，绘出波形。05.05.1)(ttti其余stsst3110012)()(dttdiLtu其余stsst3110第四章动态电路的时域分析05.15.02)(tttp其余stsst3110)(212tLuwLL=2H0)5.05.1()(22tttwL其余stsst311005.05.1)(ttti其余stsst3110012)()(dttdiLtu其余stsst3110第四章动态电路的时域分析例3电路中，求t0时的电压。V,2)0(0),A(t)(2CtCuetiV)1012()1(10205.012)(1)0()(22020ttttCCCeedediCutuA5621012)()(22ttCReeRtutiA4656)()()(222tttCRLeeetititiV881)()(22ttLLeedttdiLtuV212)1012(8)()()(222tttCLeeetututu第四章动态电路的时域分析4.1.3电感、电容的串、并联1、电感串联dtdiLudtdiLu2211,dtdiLdtdiLLuuu)(212121LLLnLLLL21等效电感：扩展应用：串联电感uLLLuLLuuLLLuLLu2122221111电感串联分压：nkuLLukk,....2,1扩展应用：串联电感分压，正比第四章动态电路的时域分析4.1.3电感、电容的串、并联2、电感并联等效电感：扩展应用：并联电感电感并联分流：nkiLLikk,....2,1扩展应用：并联电感分流，反比duLduLLiiitt)(1)(11212121111LLLnLLLL111121iLLLiLLiiLLLiLLi2112221211第四章动态电路的时域分析4.1.3电感、电容的串、并联3、电容串联等效电容：扩展应用：串联电容电容串联分压：nkuCCukk,....2,1扩展应用：串联电容分压，反比diCdiCCuuutt)(1)(11212121111CCCnCCCC111121uCCCuCCuuCCCuCCu2112221211第四章动态电路的时域分析4.1.3电感、电容的串、并联4、电容并联等效电容：扩展应用：并联电容电容并联分流：nkiCCikk,....2,1扩展应用：并联电容分流，正比dtduCdtduCCiii)(212121CCCnCCCC21iCCCiCCiiCCCiCCi2122221111第四章动态电路的时域分析总结电容元件1、电容的VARdtduCidiCtututt0)(1)()(0电容电压不可突变隔直通交记忆电流，电容是记忆性元件2、电容串联电容串联，越串越小，分压，反比。3、电容并联电容并联，越并越大，分流，正比。dttdutCutitutp)()()()()()(21)(2tCutwC第四章动态电路的时域分析总结电感元件1、电感的VAR2、电感串联电感串联，越串越大，分压，正比。3、电感并联电感并联，越并越小，分流，反比。dttdiLtu)()(duLtititt0)(1)()(0dttditLititutp)()()()()()(21)(2tiLtwL电感电流不可突变电感直流无效记忆电压，电感是记忆性元件第四章动态电路的时域分析换路、暂态与稳态的概念ucUSRC(t=0)(t=t1)+-换路：电路结构或参数发生突然变化。稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已达到稳定值。有两类稳态电路：直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。第四章动态电路的时域分析包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。含有一个独立的动态元件的电路为一阶电路。（电路方程为一阶常系数微分方程）含有二个独立的动态元件的电路为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）含有三个或三个以上独立的动态元件的电路为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分方程）4.2动态电路方程第四章动态电路的时域分析暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。过渡过程产生的原因：外因换路；内因有储能元件。uctt1US稳态暂态暂态ucUSRC(t=0)(t=t1)+-第四章动态电路的时域分析4.2.1电路微分方程1、RC串联电路2、RL并联电路讨论：t≥0时，电容电压讨论：t≥0时，电感电流)()()(tututusCRdtduRCRiudtduCiCRC,sCCuRCuRCdtdu11)()()(tititisLRdtdiLuRuCiLLL,sLLiLRiLRdtdi第四章动态电路的时域分析3、RLC串联电路讨论：RLC串联电路内，电容电压。)()()()(tutututusCRL22,,dtudLCdtdiLudtduRCRiudtduCiCLCRCsCCCuLCuLCdtduLRdtud1122一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。二阶线形常系数微分方程二阶电路第四章动态电路的时域分析4.2.2电路量的初始值计算为什么要进行初始值计算？例：一阶线性常系数微分方程的求解)11(0Axdtdx)21()(00Xtx求通解（满足（1-1）式且含有一个待定常数的解。）设tseKtx)(则tsesKdttxd)(0)(AseKts0As得到微分方程特征方程As特征根tAeKtx)(所以有通解：确定待定常数K000)(XeKtxtA初始条件代入通解得：00tAeXK第四章动态电路的时域分析例：求解方程,05xdtdx2)0(x05s5steKtx5)(2K解：特征方程特征根通解代入初始条件，得原问题的解为tetx52)(初始值用来完全确定微分方程的解。动态电路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压的初始值。第四章动态电路的时域分析动态电路的初始状态与初始值t0+和t0-路换时刻：t0，则t0-为换路前的瞬间，t0+为换路后的瞬间（称为换路后的初始时刻）。研究问题：电路的状态变量动态元件为电容，则研究变量为uC(t)；动态原件为电感，则研究变量为iL(t)；初始状态：uC(0＋),iL(0＋)初始值：t0+时刻其它u(0＋),i(0＋)值。4.2.2初始值的计算第四章动态电路的时域分析4.2.2初始值的计算)()()()(0000tititutuLLCC0000)(1)()()(1)()(0000ttLLLttCCCduLtitidiCtutu电容电压不