二项式定理题型总结

1．二项式定理在(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中，其通项相同吗？提示：从整体上看，(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第r＋1项Tr＋1＝an－rbr，T′r＋1＝bn－rar.性质性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；nnnknnnnCCCCC2210性质3：性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.12n二项式系数与项的系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．题型1利用的二项展开式解题nab题型2利用通项求符合要求的项或项的系数题型3二项式定理的逆用题型4求多项式的展开式中特定的项(系数)题型5求乘积二项式展开式中特定的项(特定项的系数)题型6三项式转化为二项式题型7求展开式中各项系数和题型8：求奇数项、偶数项系数与最大二项式系数的比求其项的最大系数的展开式中在、例，x20)32(16解:设项是系数最大的项,则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6.126.11r项系数最大的项是第13128122032C即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC题型9求展开式中系数最大(小)的项例17、在的展开式中，系数绝对值最大的项20)23(yx解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21(2)20(2)1(3542537r8r所以当时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT解：设第项是数值最大的项1r展开式中数值最大的项是29295030)2(CT115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28r29r例18、求的展开式中数值最大的项50)21(211rrrrTTTT211rrrrAAAA解决系数最大问题，通常设第项是系数最大的项，则有1r例题点评由此确定r的取值(设为第r项的系数）rA题型10整除或余数问题例19。的余数除以求1009192解:9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各项均能被100整除.只有不能被100整除929929192290929029291192929292)1(1010101010)110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余数是被可见余数为正整数注意问题探究:(1)今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几呢?(2)如果是15天后的这一天呢？（星期五）（星期六）1001001）（78r100r10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期六1008(3)今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。注意,余数要为正整数例题点评例21.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这公司的股票股票指数为_____(精确到0.001)解:依题意有2(1+0.2%)1001002(10.002)2(10.20.0198)所以100天后这家公司的股票指数约为2.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项2.43962.44001221001001002[0.0020.002]CCC题型11近似计算问题