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一、简答题1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证：⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．3、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=，求阴影部分的面积．4、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．5、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．6、已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长．8、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．求证：MN是⊙O的切线．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线．10、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC=BD（2）求证：DE为⊙O的切线．二、综合题11、已知⊙O的直径AB=10,弦BC=6,点D在⊙O上(与点C在AB两侧),过点D作⊙O的切线PD.(Ⅰ)如图①,PD与AB的延长线交于点P,连接PC,若PC与⊙O相切,求弦AD的长;(Ⅱ)如图②,若PD∥AB,求弦AD的长.12、已知⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,与CO的延长线交于点P,CP与⊙O交于点D.(Ⅰ)如图①,若∠P=38°,求∠B的大小;(Ⅱ)如图②,若AP∥BC,∠B=72°,求∠BAC的大小.13、.如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.(Ⅰ)求证:∠DAC=∠BAC;(Ⅱ)若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数.14、如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；(3)求证：AF＋2DF＝AB.参考答案一、简答题1、【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．（2）连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC==15．2、【解答】证明：（1）过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD，∵AC是圆的切线，∴OD⊥AC，又∵OC为∠ACB的平分线，∴OF=OD，即OF是⊙O的半径，∴BC与⊙0相切；（2）S△ABC=S△AOC+S△BOC，即AC×BC=AC×OD+BC×OF，∵OF=OD=r，∴r（AC+BC）=18，解得：r=2．即⊙O的半径为2．3、（1）证明：连接OC，如图，………1分∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂直平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；………5分（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，………7分∵BF=，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，………8分在Rt△OBE中，BE=OB=2，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2××2×2﹣=4﹣π．………10分4、解：（1）如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，AC=（cm），②∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=AB=×10=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由：连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，即OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．5、证明：连结OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥AD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1=∠2，∵OC=OA，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AC平分∠DAB6、（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．7、（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D（2）解：设BC=x，则AC=x﹣7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x﹣7）2+x2=132，解得：x1=12，x2=﹣5（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=128、证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．9、证明：如图，连接OD．设AB与⊙O交于点E．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAD，又∵∠EOD=2∠EAD，∴∠EOD=∠BAC，∴OD∥AC．∵∠ACB=90°，∴∠BDO=90°，即OD⊥BC，又∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O切线．10、证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．二、综合题11、解:(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC==8,∵PD、PC是⊙O的切线,∴PD=PC,∠APC=∠APD,在△APC和△APD中,,∴△APC≌△APD,∴AD=AC=8;(Ⅱ)如解图,连接OD、BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△ADB中,AD2＋BD2=AB2,∴2AD2=102,∴AD=5.12、解:(Ⅰ)如解图①,连接OA,∵PA与⊙O与相切,∴∠PAO=90°,∴∠POA=90°－∠P=90°－38°=52°,∴∠AOC=180°－∠POA=180°－52°=128°,∴∠B=∠AOC=64°;(Ⅱ)如解图②,连接BD.∵DC为⊙O的直径,∴∠DBC=90°,∴∠ABD=90°－∠ABC=90°－72°=18°,∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=18°,∴∠AOD=2∠ACD=36°,又∵∠PAO=90°,∴∠P=54°,∵AP∥BC,∴∠PCB=∠P=54°,∴∠CDB=90°－54°=36°,∴∠BAC=∠BDC=36°.图①图②13、(Ⅰ)证明:如解图,连接OC,则OC=OA,∴∠BAC=∠OCA,∵EF切⊙O于点C,∴OC⊥EF,∵AD⊥EF,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∴∠DAC=∠BAC;(Ⅱ)解:如解图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC=90°,由(Ⅰ)知∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,∴AC2=AD•AB=3×4=12,∴AC=2,在Rt△ABC中,cos∠BAC=,∴∠BAC=30°.14、（1）证明：如解图，连接OC.第11题解图∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD，又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD，∴CO∥AD.又CD⊥AD，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得：AE=10，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD,∴.设⊙O的半径为r，∴OE=10-r.∴，∴r=，∴BE=10-2r=；（3）证明：如解图，过点C作CG⊥AB于点G.∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD，∴CG=CD，在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵CG=CD，AC=AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD.又∵∠BAC=∠CAD，∴BC=CF，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵BC=FC，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF.∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.