高中数学平面几何对称问题

对称问题课题引入•教材P10111对称问题中心对称问题点关于点的对称线关于点的对称轴对称问题点关于线的对称线关于线的对称例1.已知点A(5,8)，B(4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。（一）点关于点对称一.中心对称(关于点的对称)），Ｃ（解得的中点为点Ａ和点由对称关系知，点）（解：设点｛｛ｘ＝ｙ＝２５＋＝２８＋＝63CB,C3641xyyx练习:求点P(2,5)关于原点的对称点.求点P(2,5)关于Q(-3,-7)的对称点.点关于点的对称'),(),(AyxAnmO)2,2(ynxm注：)0,0(),(yx),(yx解题要点：中点公式的运用例2、求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.(,)MxyP解：设对称直线上任一点，则其关于的对称点P(2,–1)xyOy=3x–4分析一:将直线的对称转化为直线上的点的对称.还可以有什么方法？3100xy化简得3100.xy所求直线方程是上在直线43)2,4(Nxyyx4)4(32xy(二）直线关于点的对称直线关于点对称法一：l2上的任意一点的对称点在l1上f(x,y)=0M(x,y)P(m,n)M′(2m-x,2n-y)f(2m-x,2n-y)=0法二：l1//l2且P到两直线等距。对称关于点与若P21ll练习求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.二.轴对称(即关于直线的对称)例3.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.解(法一)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:线段AB⊥l即;=-1①2)7(1mn线段AB被直线l平分,即线段AB的中点21,27nm在直线l上,故有2--5=0②27m21n(一)点关于直线的对称:联立①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)（法二）∵直线AB⊥l,直线AB过点（-7，1）∴直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=021052052yxyx由解得13xy即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:点关于一般直线的对称'),(0:AbaAcByAxl上中点在直线平分：垂直：方法：lAAlAA''练习：求A（3,-2）关于直线2x-y-1=0的对称点坐标。134'(,)55A点关于特殊直线的对称),(00yxA轴y轴xxyxy),(00yx),(00xy),(00xy),(00xybxy),(00bxby例4.试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线l的方程。解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称思考：若l1//l2,如何求l1关于l2的对称直线方程？C1lC2M(x,y)M＇(x1,y1)l1l2l1'（二）直线关于直线的对称直线关于特殊直线的对称轴xCByAx0轴yxyxy0)(CyBAx()()0AxByC0CBxAy0)()(CxByA几种特殊的对称（当堂口答）：点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：关于原点:__________;关于x轴:__________;关于y轴:__________;关于直线y=x:______;关于直线y=-x:______;关于直线x=a:_______.(-x,-y)(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)设直线则关于轴对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿关于轴对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿＿关于对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿关于对称的直线是＿＿＿＿＿＿l0:CByAxlxyxyxy0)(CyBAx0)(CByxA0CAyBx0)()(CxByA补：关于原点:____________;0CyBxA）（）（例：一条光线经过点P（2，3），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点Q（1，1），求光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1)31,32SR(-4,-3))32(0245xyx)32(0154xyx应用一：解决物理光学方面的问题练习：一条光线经过P（-1,2），经直线l:x+y-1=0反射后经过点Q（1,1），（1）求入射光线所在的直线方程；（2）求这条光线从P到Q的长度。例：已知△ABC的顶点A（4,－1）,B（－4,－5）,角B的内角平分线BE所在直线的方程为，求BC边所在直线方程。01yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE应用二：解决三角形中的角平分线问题应用三：解决距离最值有关问题例.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使得:(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题1.若A，B两点在直线的同侧：（1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；（2）直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。2.若A,B两点在直线的异侧:(1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小;(2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大.例：已知x,y满足x+y=0，求的最小值。2222)3()2()1()3(yxyxM′(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=－xP（1）已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P使|PA|+|PB|最小变形:在l上求一点Q使得||QA|-|QB||最大.（2）已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P使|PA|+|PB|最小.变形:在直线l上求一点Q使得||QA|-|QB||最大.练习题：一、点关于点对称二、点关于直线对称三、直线关于点对称四、直线关于直线对称五、光线问题六、角平分线问题七、距离最值问题小结四类对称常见运用