高中数学应用性问题的解题技巧

讲座3、数学应用性问题的解题技巧数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型．高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题．高考对数学应用和实践能力的考查具体要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明．解答数学应用性问题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力．从2000年新课程的试卷开始，突出新增加的向量、概率、导数等知识的应用性．但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数、数列、三角、二次曲线等模型解决实际问题也是复习的重点．要想掌握好高考试题中应用问题的求解，重点在于提高整理分析实际问题中数据的能力，抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力．1、求解应用题的一般思路和步骤（四步法）：（1）读题：读懂和深刻理解题意，译为数学符号和语言，找出主要关系；（2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法计算和求解；（4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．一、应用问题的解答基本步骤、关键环节和常见问题2、解决一个应用题，重点过三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．3、中学数学中常见应用问题（1）最（极）值等优化问题：实际工农业生产、建设及实际生活中中的“优选”、“控制”等问题，常需建立“函数方程不等式模型”转化为求函数的最值问题，或“线性规划”问题加以解决．（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决．（3）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决．一、函数不等式模型：函数是高中数学中最重要的一部分内容，现实生活中普遍存在着的最优化问题，此类问题常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决．⑴根据题意，熟练地建立函数模型；⑵运用函数性质、不等式、导数等知识处理所得的函数模型．理论阐释二、常见应用问题的数学模型分析例1（2010年湖北卷）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（1）求k的值及f(x)的表达式。（2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。k(0x10)3x5典例导悟xcmkCxCkxCxxCxxfxCxCxxx11解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为（）,由（0）8，可得40，3540因此（）。35而建造费用为（）6最后隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为800（）20（）（）60（010）35fxxfxxxxfxxfxxfxfcm22400(2)（）6，（35）23令（）0得5，（舍去）5当05时，（）0,当510时，（）0故5是（）的最小值点，对应的最小值为800（5）6570155答：当隔热层修5厚时，总费用达到最小值70万元。OO例2（2010年福建卷）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小船航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由。minSttcosttttSv222解析：（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则90040023020(9030)1900600400900()300.31故当时,103；3103此时303(海里/小时)132B222vt400900t22030tcos(9030)6004002v900.2tt6004000v30,900900,2tt23220,t.tv30.2t33t2v30t.3OABOAOBAB2030（）设小艇与轮船在处相遇。则故即解得又时，故时，取最小值，且最小值为此时，在中，有＝＝＝，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行的速度为３０海里／小时，小艇能以最短的时间与轮船相遇。例3、按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna．如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.（1）求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；(2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．【解析】（1）,125ABABmmhmm甲3,125,20320ABABABmmhmmmm乙，（,）当35ABmm时，23535(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲，235320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙，hh甲乙．（2）当35ABmm时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲由111[5,20][,]205BBmm得，故当1120Bm即20,12BAmm时，．甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105．（3）由（2）知：0h=105由010=1255ABABmmhhmm甲得：12552ABABmmmm，令35,,ABxymm则1[,1]4xy、，即：5(14)(1)2xy．同理，由0105hh乙得：5(1)(14)2xy另一方面，1[,1]4xy、,141xx5、1+4y[2,5],、1+y[,2],255(14)(1),(1)(14),22xyxy当且仅当14xy，即mA=mB.时，取等号．所以不能适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．例4.（2010年广东卷）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？minxyzzxyxyxyxyxyxyxyxxxxNyyyyNxyz解：设该儿分别预定，个单位的午餐和晚，共需元，则2.54。12864321666427可行域为即6105435270，N0,0，N0,作出可行域如图所以，当4，3时，花费最少，为2.544322元。答：应该为儿童分别定4个午餐和3个晚餐二、几何模型：诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数和向量知识来求解，有时也考查到解析几何的知识．理论阐释【典例】为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．典例导悟【解析】方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角B点到M、N的俯角22、；AB的距离d.②第一步：计算AM．由正弦定理212sinsin()dAM；第二步：计算AN．由正弦定理221sinsin()dAN；第三步：计算MN．由余弦定理22112cos()MNAMANAMAN．11、；方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；AB的距离d．②第一步：计算BM．由正弦定理112sinsin()dBM；第二步：计算BN．由正弦定理121sinsin()dBN；第三步：计算MN．由余弦定理2222MNBMBN2BMBNcos()