控制系统的瞬态响应分析

第六章控制系统的瞬态响应分析第一节一阶系统的瞬态响应第二节二阶系统的瞬态响应第三节瞬态响应指标及其与系统参数的关系第四节具有零点的二阶系统的瞬态响应第六节瞬态响应指标与频率响应指标的关系第五节高阶系统的瞬态响应实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。(1)实际系统的输入信号不可知性(2)典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系(3)电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。0,)(1tt（单位）斜坡函数（Rampfunction）速度0,tt（单位）加速度函数（Accelerationfunction）抛物线0,212tt（单位）脉冲函数（Impulsefunction）0,)(tt正弦函数（Simusoidalfunction）Asinut，当输入作用具有周期性变化时。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Stepfunction）相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能·立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。——称动态过程。6.1一阶系统的瞬态响应用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图(a)所示的RC电路，其微分方程为i(t)+r(t)c(t)+（a）电路图RC)(trUdtduRCcc)()()(trtCtCT其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为11)()()(TSsRsCsR(s)C(s)（b）方块图I(s)R(s)C(s)（c）等效方块图这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。一、单位阶跃响应（Unit-StepResponseofFirst-orderSystem）因为单位阶跃函数的拉氏变换为SsR1)(，则系统的输出为111111)()()(TSSSTSsRssC对上式取拉氏反变换，得11)()()(TSsRsCsTtetc1)(0t图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)注**：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。T1由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：Ttd69.0Ttr20.2误差带）%5(3Tts％不存在和pt图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)响应曲线在0t时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要t＝T时，输出c(t)就能达到其终值。T1T1二、单位脉冲响应Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即11)(TSsC这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为)]([)(1sGLtg,其表达式为01)(teTtcTt三、单位斜坡响应Unit-rampResponseoffirst-orderSystems2S1R(s)TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222当对上式求拉氏反变换，得：tTtTTeTteTttc11)1()(因为)1()()()(1tTeTtctrter(t)c(t)r(t)c(t)t0图3-5一阶系统的斜坡响应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为Tteetss)(limtTtTTeTteTttc11)1()()1()()()(1tTeTtctrter(t)c(t)r(t)c(t)t0图3-5一阶系统的斜坡响应Tteetss)(lim上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同1)(,1)(ttctr)(tc②由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。四、单位加速度响应221)(ttr31)(SsRTST11TSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()()(2223233)0()1(21)(122teTTtttctT)1()()()(12tTeTTttctrte上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t0tTeTtTt0)1(2122teTTttTt01teTt)0(1teTTt)(tS121S31S221t11TS微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。6.2二阶系统的时域分析Transient-ResponseAnalysisandSteady-StateErrorAnalysisofSecond-orderSystems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。二阶系统瞬态响应具有典型性，动态性能指标是根据二姐系统的瞬态响应来定义的。工程中，一定条件下，一个高阶系统可近似为二阶系统处理。一、二阶系统的标准形式KSSTKsm2)(2222)()()(nnnSsRsCsmnTK2mnTKmnT12KTm21n－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示S(S+2ξωn)ωn2R(s)C(s)图3-8标准形式的二阶系统方块图_2222)()()(nnnSsRsCs（3-18）n－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和n加以描述,二阶系统的特征方程：0222nnSS122,1nnS二、单位阶跃响应Unit-StepResponseofSecond-OrderSystems阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值CmFFJKFFKJFKJKT1212212121CF－临界阻尼系数，1时，阻尼系数图3-9二阶系统极点分布左半平面ξ00ξ1ξ=1两个相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0jω右半平面ξ0ξ1两个不等根00两个正实部的特征根发散10，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统1，为两个相等的根10，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根22,11nnjS图3-9二阶系统极点分布左半平面ξ00ξ1ξ=1两个相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0jω右半平面ξ0ξ1两个不等根0(1)欠阻尼(10)二阶系统的单位阶跃响应22,11nnjS令n－衰减系数dj21nd－阻尼振荡频率SsR1)(2222)()()(nnnSsRsCsSSSsRssCnnn12)()()(2222222)()(1dnndnnSSSS对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为]sin1[cos1)(2ttethddtn0)sin(1112ttedtn2211dnnddnd121稳态分量瞬态分量arccos12arctg稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为d－阻尼振荡频率包络线211tne决定收敛速度0时，0sin1)(ttthn（3-23）这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为由系统本身的结构参数确定－故称为无阻尼振荡频率n(2)临界阻尼(1)SsRttr1)(,)(1)(nnnnnSSSSSsC1)(11)()(222临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应0)1(11)(tteetethnttntnnn当1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，tnnedttdh2)((3)过阻尼()1122,1nnSSSSSSSSSsCnnnn)]1()][1([1))(()(222212)1()1(23221nnASASA11A)1(122nSA)1(121223A0)1(121)1(1211)()1(22)1(2222teethttnnjωS1S2衰减快慢ξ基本上由S1决定图3-10二阶系统的实极点σ0020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82图表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线）三、二阶系统的脉冲响应四、二阶系统的斜坡响应五、二阶系统在斜坡输入下的稳态误差6.3瞬态响应指标及其与系统参数的关系在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。动态性能指标：一、动态性能指标0tMp超调量允许误差10.90.50.1trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h延迟时间：（DelayTime）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（RiseTime）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快dtdt:rt峰值时间（PeakTime）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。pt0tMp超调量允许误差10.90.50.1trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线t