量子与统计QM2-1

第二章波函数与Schrödinger方程§2.1波函数及其统计诠释一、状态的描述1．经典力学中的质点由,描写r()pυ●每一时刻该二量具有完全确定的值,且随时间连续变化●质点的其他力学量()都可表示为和的函数（和完全决定了质点的性质）,,kEVLrppr●质点状态的变化遵从牛顿定律.若已知和,则任意时刻的和唯一确定0r0p()tr()tp()()()()000000tttFtdtmPtFdtPrttdtrυυυ=+=+=+∫∫∫●描写粒子的运动轨道()tr2.量子力学中微观粒子的状态由波函数(Wavefunction)描写●微观粒子不可能同时具有确定的和,也就是没有确定的轨道rp●为描写粒子的状态,量子力学中用反映粒子波粒二象性的波函数描写；波函数描写体系的量子状态(简称状态或态)()tr,Ψ对于一般状态的微观粒子,应该用一般的时间和空间的复函数来描写：,它称为波函数(亦称态矢量).波函数是在空间的一个分布(在给定时间t,它是坐标的函数).波函数是微观粒子波粒二象性的表现.()tr,Ψ●可以决定微观粒子的一切力学量和行为()tr,Ψ●的变化遵从Schrödinger方程()tr,Ψ二、波粒二象性的分析1.实物粒子的波粒二象性(particle-waveduality)1923年deBroglie提出实物粒子(静质量的粒子)也具有波粒二象性的假设,即与动量为p和能量为E的粒子相应的物质波(matterwave)的波长λ和频率ν为,hEphλν==实验验证:电子、分子、中子、团簇(cluster)等的干涉、衍射现象.波动性是物质粒子普遍具有的.物质粒子的波动性在现代科学实验与生产技术中有广泛应用.譬如,电子显微镜、慢中子衍射技术，可用于来研究晶体结构与生物大分子结构等.譬如：C60分子束的衍射现象（M.Arndt,1999）0m≠（1）C60分子的干涉图2.1C60分子的干涉图像干涉图与经典波动的双缝干涉图没有差别,但最后在探测屏记录下来的都是一个个的C60分子,最直观地展现了波粒二象性.图2.2C60分子的双缝干涉示意图（2）经典粒子的双缝实验图2.3(a)机枪点射的子弹密度分布靶上子弹密度分布：()()()1212xxxρρρ=+()1xρ()2xρ:只开缝1时,靶上子弹密度分布:只开缝2时,靶上子弹密度分布（3）经典波的双缝和单缝干涉图2.3(b)经典波的双缝和单缝干涉波强度比较设分别打开缝1和缝2时的声波用和描述,双缝齐开时的声波则用描述.声波强度分布为：()21ithxeπν()22ithxeπν()()212ithxhxeπν+()()()()()()()()()()()()()2121222**1212121212.IxhxhxhxhxhxhxhxhxIxIxIxIx=+=+++=++≠+干涉项由此可见,由于干涉项的影响,经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同.2．实物粒子二象性的理解•粒子性指它与物质相互作用时的“颗粒性”或“整体性”,具有集中的能量ε与动量.但它不是经典的粒子！因为它没有确定的轨道,应采用“概率”的概念、抛弃“轨道”的概念！P•波动性指它在空间传播时的“可叠加性”,有“干涉”、“衍射”、“偏振”等现象,具有波长λ和波矢.但它不是经典的波！没有某种实际物理量（如质点的位移、电场、磁场）的波动分布.k微观粒子在某些条件下突出地表现出粒子性,在另一些条件下突出地表现出波动性.从经典物理来看,这两种完全格格不入的性质寓于同一客体之中.图2.4少女与老妇图中同时包含着两种图象信息,你以某种看法观察,会看到图中是一位少女,你换一种看法观察,则会看到图中是一个老妇,两种图象不会同时出现在你的视觉中.此画可以用来“比喻”微观粒子的“二象性”.对波粒二象性的理解,错误的如:•物质波包观点将微观粒子看做三维空间中连续分布的某种物质波包.波包的大小即粒子的大小,波包的群速度即粒子的运动速度.什么是波包？波包是各种波数(长)平面波的迭加.平面波描写自由粒子,其特点是充满整个空间,这是因为平面波振幅与位置无关.如果粒子由波组成,那么自由粒子将充满整个空间,这是没有意义的,与实验事实相矛盾.实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内.例如在一个原子内,其广延不会超过原子大小≈1Å.夸大了波动性的一面,抹杀了粒子性的一面.•疏密波观点(波由粒子组成)将波动性看成大量粒子分布于空间所形成的疏密波.譬如，水波,声波,由分子密度疏密变化而形成的一种分布.这种看法是与实验矛盾的,它不能解释长时间单个电子衍射实验.我们再看一下电子的衍射实验1)入射电子流强度小,开始显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图样;2)入射电子流强度大很快显示衍射图样.电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长,底片上呈现出衍射花纹.这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象,单个电子就具有波动性.夸大了粒子性的一面,抹杀了粒子的波动性的一面.•电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”,既不是经典的粒子也不是经典的波,但是我们也可以说,“电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统一.”这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子.正确的理解如下：经典概念的特征非经典概念的特征粒子性质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性干涉、衍射等现象振幅不直接可测三、波函数的统计诠释(Born,1926)1.概率波（probabilitywave）MaxBorn[德国,1882-1970,Zeit.Phys.38,803(1926)]通过对散射实验中粒子角分布的分析首先提出波函数的统计诠释,并得到无数实验的支持.MaxBorn(1882-1970,German)WaltherBothe1954年诺贝尔物理学奖--波函数的统计解释和用符合法作出的发现【量子力学假定之一】一个微观粒子的状态总可以用一个波函数来完全描述,波函数是粒子坐标和时间的复函数,模平方代表粒子空间分布的概率密度.波函数本身称为概率振幅(或波幅)（probabilityamplitude）.(,)rtΨ2(,)rtΨ()2,rtxyzψ∆∆∆表示在点处的体积中找到粒子的概率.由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲),所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说,量子体系)的状态,这种描写在本质上具有统计的特征.rxyz∆∆∆●状态用波函数表示●波函数的概率诠释●对波函数性质的要求爱因斯坦、薛定鄂极力反对波函数的统计诠释:Ican’tbelievethatGodplaysdice.1927年Solvey会议后,Copenhagan诠释(以玻尔和海森堡为代表的观点)成为量子力学的正统诠释.其关键是波函数的统计诠释,它的两大理论支柱是玻尔的互补性原理和海森堡的不确定度关系.---AlbertEinstein(1879-1955,German,Swiss,US)NobelPrize:1921(forphotoelectriceffect)19992．波函数的归一概率是相对量,所以将波函数乘以一个常数,它仍然描写量子体系的同一个状态.设是某个波函数,按照概率解释,在点附近的体积元中发现粒子的概率:(,)rtdτΦΦ=(,)rt2(,)(,)dWrtCrtdτ=ΦC是一个正常数,或者说,粒子的空间概率密度：2(,)(,)(,)dWrtwrtCrtdτ==Φ因此,在全空间发现粒子的概率：2(,)(,)WwrtdCrtdττ∞∞==Φ∫∫一种方便的选择是：这称为概率的“归一”.重新选择波函数为1W=2(,)(,),(,)(,)rtCrtwrtrtΨ=Φ=Ψ于是有2(,)(,)1Wwrtdrtdττ∞∞==Ψ=∫∫称为归一化的波函数.Ψ(,)rt【讨论】[1]即使要求波函数是归一化的,它仍然有一个整体位相因子不能确定.相因子：()ieδ21ieδ=[2]对于某些理想(非物理)情况,波函数不能归一.例如,平面波(自由粒子的波函数)()(),iprEtprtAe⋅−Ψ=()23,prtdrψ=∞∫(平方不可积)但是不能归一并不影响相对概率.()()()()22112222,,,,pppprtCrtrtCrtψψψψ=此时代表“相对概率密度”.Ψ(,)rt2【例题1】设粒子的波函数为),,(φθrΨ（1）归一化条件1),,(sin),,(22002022400=∫∫Ψ∫=∫∫ΨΩ∞∞drrrdddrrrdπππφθθθφφθ（2）粒子出现在球壳中的概率),(drrr+∫ΨΩ=πφθ4022),,(rddrrdW（3）粒子出现在方向立体角元中的概率),(φθΩd∫ΨΩ=∞022),,(φθrdrrddW3.多粒子波函数()()()()1211112222,,;:,,,,,,,,,NNNNNrrrtrxyzrxyzrxyzψ表示各粒子的空间坐标.抽象的3N维位形空间(configurationspace)中的概率波()23331212,,;NNrrrtdrdrdrψ表示粒子1出现在中同时粒子2出现在中()111,rrdr+()222,rrdr+…………同时粒子N出现在中(),NNNrrdr+4.统计诠释对波函数的要求(1)概率诠释要求波函数平方可积=∫Ψ∞rdr32)(有限正常数一般有限.但在平方可积的条件下,可以存在有限个孤立奇点.)(rΨ(2)波函数须满足归一化条件(平方可积),但不排除使用某些不能归一化的理想的波函数平面波:δ波包:()/iprreψ⋅()()rrψδ(3)要求单值(粒子的概率分布确定),但不能由此要求是坐标的单值函数()2rψ()rΨr(4)波函数及其各阶微商的连续性()rΨ统计诠释对此无直接要求,的连接条件由粒子所处势场的性质决定.这将在§2.4中讨论.)(rΨ′)(rV一般情况下,概率分布连续可以导出连续,但不排除存在个别孤立奇点(以后讨论).连续性通常意味着和都连续,但在势能有无穷大跳跃的地方,允许不连续(波函数和它的微商在保持积分为可积的条件下可以趋于无限大).Ψ∇Ψ∇Ψ从实验测量的观点,只要求处处单值、连续、有限，或写为()2,rtdVΨ()[]2,MrtdVΨ∫=单值、有限()rΨ:表示被测点附近任意小但仍为有限的小体积.[]M