专插本高等数学13页练习

1第一章函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数例1（1）求函数21ln21fxxx的定义域.（2）求函数21,2132,23xxfxxx的定义域.例2设函数2gxx，ln2fgxx，则1f.例3已知ln1fxx，fxx，求x.例4若11xxx，则x.例5已知fx的定义域为全体实数，11fxxx，则1fx.例6判断函数2lg1fxxx的奇偶性.二、极限例1求下列各题的极限（1）22011limsin2xxx.（2）322232lim6xxxxxx.（3）2112lim11xxx.（4）22lim2xxxxx.例2设当0x，211ax与2sinx是等价无穷小，则a.例3当0x时，下列变量与x为等价无穷小量的是（）.A.sin2xB.1cosxC.11xxD.sinxx例4求下列各题的极限（1）0tan2limsin5xxx.（2）30tansinlimsinxxxx.例5求下列各题的极限（1）11201lim1xxx.（2）322limxxxx.（3）421lim1xxxx.（4）lim2xxxaxa（其中a为常数）.*例5求下列各题的极限（1）10lim3xxxxxabc.（2）21limcosxxx.（3）201tan1sinlim1sinxxxxxx.例6求下列各题的极限（1）sinlimxxx.（2）23coslim1xxxxx.2例7求222111lim...12nnnnn.例8在下列函数中，当0x时，函数fx极限存在的是（）.A.1,00,01,0xxfxxxxB.,01,0xxfxxxC.1,020,01,02xxfxxxxD.1xfxe例9（1）22212lim...nnnnn.（2）10111011...lim...nnnnmmxmmaxaxaxabxbxbxb.（3）lim2sin2nnnx.（4）01cos2limsin2xxxx.（5）已知233lim43xxkxx，求常数k的值.（6）已知222lim22xxaxbxx，求常数,ab的值.三、函数的连续性例1设函数1sin,0,01sin1,0xxxfxkxxxx在其定义域内连续，求常数k的值.例2设函数22,0,01,1xxfxxaxbxx在,上连续，求常数,ab的值.例3设函数21,0,012,12xxfxxxxx，讨论fx的间断点及其类型.例4求下列函数的间断点并说明间断点类型（1）22132xfxxx.（2）2112xxfxx.例5证明方程42xx在10,2内至少有一个实根.例6设2xfxe，求证fx在0,2内至少有一个点0x，使002xex.第二章一元函数微分学3一、导数与微分例1设yfx在0x处可导，则0002limhfxhfxh;000limxfxxfxxx.例2求下列函数的导数（1）21lnyx.（2）arctanxye.（3）2321sin2secxyxe.（4）ln2xxy.（5）2yfxx，其中fu及x均可导.（6）已知fu可导，求lnfx、nfxa和nfxa.（7）设11xyfx，2arctanfxx，求0xy.（8）设fx为二阶可导函数，且221sintancosxfxx，求fx.例3函数,0ln1,0xxfxxx在0x处是否连续，是否可导，为什么？例4设函数cos,2,22xxfxxx（1）fx在2x处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,02处的切线、法线方程.例5设函数2,1,1xxfxaxbx在1x处可导，求常数,ab的值.例6设曲线32yxx上存在切线与直线41yx平行，求切点.例7设函数yfx由方程2sinxyxy确定，求dydx.例8设函数yfx由方程3331xyxy确定，求0xdydx.例9设函数322212xxyxx，求y.4例10设函数2sinxyx，求y.例11（1）设(2)cosnyxx，求()ny.（2）设ln1yx，求()ny.例12已知cossinttxetyet，求当3t时dydx的值.*例12已知参数方程2arctan1ln1xtyt，求dydx和22dydx.———————————————————————————————————————————————练习题1.已知函数yfx在xa处可导，求03limxfaxfax.2.求下列函数的一阶导数（1）3lnarcsinln2yx.（2）sin1tanxxyx.（3）ln2xxy.（4）22lnarctan11xyxx.3.用对数求导法求下列函数的一阶导数（1）arcsin21xyx.（2）21xxyx.4.求下列隐函数的一阶导数y（1）1yyxe.（2）cos0xyexy.5.求下列函数的二阶导数y（1）2ln1yxx.（2）xeyx.6.求下列函数的微分（1）221arctan1xyx.（2）2arcsin1,0yxx.7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程（1）sincos2xtyt，在4t处.（2）2223131atxtatyt，在2t处.———————————————————————————————————————————————5二、导数的应用例1不用求函数1234fxxxxx的导数，问方程0fx至少有几个实根，并指出其所在范围.例2函数321fxx在1,1上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.例3设函数yfx在,ab上连续，在,ab内可导，且在任一点处的导数都不为零，又0fafb，试证：方程0fx在开区间,ab内有且仅有一个实根.例4利用洛必达法则求下列极限（1）201limsinxxexx.（2）limmmnnxaxaxa.（3）11lim1lnxxxx.（4）20limlnxxx.例5求下列函数极限（1）10lim12xxx.（2）sin0limxxx.（3）2222lim1xxxx.（4）1lim1xxxe.（5）421lim1cosxxx.（6）0sinsinlim1cosxxexxx.例6证明不等式（1）ln1,01xxxxx.（用单调性或拉格朗）（2）2arctan,01xxxxx.*（3）11,(0,1)nnnnnbababnaababn.*（4）ln,(0)abaabababb例7证明不等式1,1,0xexx.例8证明下列不等式（1）21ln,11xxxx.（2）当02x时，sintan2xxx.（3）当1x时，123xx.例9求函数22xfxxe的单调区间和极值.例10求函数21xyx的凹凸区间和拐点.例11求函数4210yxx的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值.例12求函数321yxx的凹凸性和拐点.例13求函数2232yxx在0,3上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线（1）21xyx.（2）1xxye.6———————————————————————————————————————————————练习题1.不求出147fxxxx的导数，问方程0fx至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程120xex仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）242fxxx.（2）22xfxxe.4.当a为何值时，点1,3是曲线3292yaxx的拐点.5.（1）求曲线5332075fxxxx的凹凸区间及拐点.（2）求曲线3yx的拐点.6.证明下列不等式（1）当1x时，xeex.（2）211cos02xxx.7.设fx在,a可导，且xa时0fxk，其中k是常数.证明：若0fa，则方程0fx在,faaak上有且仅有一根.———————————————————————————————————————————————第三章不定积分与定积分一、不定积分例1（1）已知11xxfxedxeC，求fx.（2）已知arcsinxfxdxxC，求1dxfx.二、积分法（一）直接积分法（公式法）例1求下列不定积分（1）231xdxx.（2）311xxxdx.（3）2211dxxx.（4）3xxedx.（5）236xxxdx.（6）421xdxx.例2求下列不定积分（1）2sin2xdx.（2）22cos2sincosxdxxx.（3）11cos2dxx.（4）2tanxdx.（二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法）例1求下列不定积分（1）2xxedx.（2）22arctan1xdxx.（3）32sincosxxdx.（4）sinxxeedx.*（5）xedx.7（5）11dxxx.（6）2145dxxx.（7）1xxdxee.（8）3arctan1xdxxx.例2求下列不定积分（1）22sincosxxdx.（2）41cosdxx.（3）1sindxx.（4）1cosdxx.2.第二类换元法例12220xdxaax.例22211dxxx.例324xdxx.例4（1）111dxx.（2）11xdxe.（3）3131xdxx.（4）11xdxe.（三）分部积分法例1（1）2cosxxdx.（2）2xxedx.（3）2lnxxdx.（4）arctanxdx.（5）sinxexdx.（6）sinlnxdx.*例13secxdx.例2已知fx的一个原函数是2xe，求Ixfxdx.（四）一些简单的有理函数的积分例1（1）221dxxa.（2）2123dxxx.（3）21610dxxx.（4）211dxxx.———————————————————————————————————————————————练习题1.计算下列不定积分（1）23134tanxxxdxx.（2）211xxedxe.（3）3tansecxxdx.（4）2