工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第2章(第二部分)

《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第1页2020-3-112．4电介质中的电场1．电位移矢量由高斯定理，得PEP001整理得▽(0E+P)=定义电位移矢量：D=0E+P=0(1+e)E=E其中，=0(1+e)=r0，r=/0=(1+e)2．介电常数上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量D、E或位函数的定解问题。例1：同轴电缆其长度L远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a和b。其间充满介电常数为的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U0相联接。试求：(1)介质中的电场强度E；(2)介质中Emax位于哪里？其值多大？[解]：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+和-。由应用高斯定理，得LL2DdSSD即eD2所以eDE2(ab)由因为ab2dEdUbal0lnlE则abUln20得eEabU0ln(ab)(2)最大场强位于内导体表面(=a)，其值为eEabaU0lnmax图同轴电缆的电场图E切向分量的边界条件图D法向分量的边界条件《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第2页2020-3-113．边界条件介质分界面上的边界条件：跨越分界面的一狭小的矩形回路l如图所示，且令l2→0而l1足够地短。求电场强度在l上的环量，有0ddd12112111lElEttllllElElE即E1t=E2t或en(E2-E1)=0上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。跨越分界面的一个扁平圆柱体S如图所示，令两个底面S足够小且平行于分界面，圆柱面高度l→0。求电位移矢量在圆柱面的通量，有SSDDdn1n2SSD式中分界面上法线方向单位矢量en规定为由介质1指向介质2，是分界面上可能存在的自由电荷面密度。从而得D2n-D1n=或en(D2-D1)=一般两种介质分界面上不存在自由电荷(=0)，此时有D1n=D2n或en(D2-D1)=0上式表明，在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的。对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得E1sin1=E2sin2，1E1cos1=2E2cos2两式相除，得2121tgtg上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电场的折射定律。导体表面上的边界条件：设导体为媒质1、导体外介质为媒质2，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，得E1t=E2t=0，D2n-D1n=D2n=式中，是导体表面的电荷面密度。上式说明在导体表面相邻处的电场强度E和电位移D都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该点的电荷面密度(需注意en是导体表面的《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第3页2020-3-11外法线单位矢量）。一般写为Et=0或enE=0；Dn=或enD=4．边界条件的电位表达介质分界面：由于介质分界面上E1t=E2t，显然可以得出1=2即电位连续在介质分界面上是连续的。又由于D2n-D1n=和nDn最后可以得出，边界条件的电位表示为1=2，nn1122导体表面上的边界条件：=C，n式中，C是由所论静电场导体系统决定的常数。例2：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为U0，试求：(1)两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密度。[解]：(1)在电压U0下，并应用分界面的边界条件，得221102211EEUdEdE22r1r111221021ddUddUE，211r2r1221012ddUddUE(2)极板A上的电荷面密度为112202111ddUEDn极板B上的电荷面密度为=-D2n=-2E2=-讨论：本例中，设r2r1，则E1E2。在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场图平板电容器《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第4页2020-3-11强度E1将为绝缘材料中电场强度E2的r2倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。2．5边值问题1．泛定方程由D=、D=E和E=-，得D=E=-==〉=-对于均匀介质为常数，得2=-/上式称为电位的泊松方程，式中2，称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中2222222zyx对于场中无自由电荷分布(=0)的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程，即2=02．边界条件第一类边界条件（狄利赫莱条件）：场域边界S上的电位分布已知，即b1rrfS式中rb为相应边界点的位置矢量。它与泛定方程构成第一类边值问题。第二类边界条件（纽曼条件）：场域边界S上电位的法向导数分布已知，即b2rrfnS当f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。它与泛定方程构成第二类边值问题。第三类边界条件（混合条件）：场域边界S上电位及其法向导数的线性组合已知，即b43rrrrfnfS它与泛定方程构成第三类边值问题。无限远边界条件：对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有有限值rrrlim《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第5页2020-3-11即电位在无限远处趋于零，(r)|r→=0介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边界条件。静电场边值问题：就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的电位函数。3．直接积分法对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。这时可以直接积分求解电位函数。例1：图示二块半无限大导电平板构成夹角为的电极系统。设板间电压为U0，试求导电平板间电场。[解]：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量的函数，可以写出如下的第一类边值问题：002220,0ddUD将泛定方程直接积分二次，得通解为=C1+C2由给定的两个边界条件，得01UC，C2=0所以0UeeE0U例2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为ararr001[解]：设球状电荷分布内、外的电位分别为1和2，显然，1满足泊松方程，2满足拉普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有图角形电极系统《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第6页2020-3-11rrrrr00122121dddd1(0ra)0dddd122222rrrr(ra)边界条件为0dd01rr；arar21ararrrdddd2010；02r可解得1和2的通解为21012CrCr432CrC代入边界条件，得C1=0，C4=0，C2=0a，C3=022a最终得电位函数的解为0012ar(ra)ra0222(ra)利用球坐标系中的梯度表达式，求得r0r11121drdeeE(ra)r202r222r2adrdeeE(ra)可见，以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。4．分离变量法基本思路：当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。对于拉普拉斯方程对应的边值问题，其步骤是：《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第7页2020-3-11首先，结合场域边界形状，选用适当的坐标系；其次，设待求电位函数由两个或三个各自仅含一个坐标变量的函数乘积组成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，将拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程；第三，解这些常微分方程并以给定的定解条件决定其中的待定常数和函数后，即可解得待求的电位函数。一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。直角坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为(x，y)，满足拉普拉斯方程：0yxyx22222,设电位函数有分离变量形式，即(x，y)=X(x)Y(y)代入拉普拉斯方程，整理得2222dd1dd1yYYxXX显然，上式两边在x和y取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。记该常数(常称为分离常数)为，这样，上式即转化为两个常微分方程0dd22XxX，0dd22YyY式中，分离常数可取0、mn20和-mn20，可分别得出如下三种形式的解，即当=0时X(x)=A10+A20x；Y(y)=B10+B20y当=mn20时X(x)=A1nchmnx+A2nshmnx；Y(y)=B1ncosmny+B2nsinmny当=-mn20时X(x)=A1ncosmnx+A2nsinmnx；Y(y)=B1nchmny+B2nshmny当mn取不同值时，上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解，即yBBxAAyshmBychmBxmAxmAymBymBxshmAxchmAyx20102010nn2nn11nnn2nn1nn2nn11nnn2nn1sincossincos,最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第8页2020-3-11例3：长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为0。求槽内电位分布。[解]：依题意，本问题为第一类边值问题，即byax0by0ax00yax00by0,0x0by0a,x0,0yxyx022222,,,,由于电位函数在x方向具有周期性、在y方向具有单调性，得A1n=0和A2n=0。通解为yshmBychmBxmAxmAyBBxAAx,ynn2nn11nnn2nn120102010sincos由边界条件，当x=0和y=0时，=0，得A10=0，A1n=0，B10=0，B1n=0即1nnnn0ymxmCxyCyxshsin,又因为当x=a时，=0，得C0=0，anmn,(n=1,2,3,)故得1nnaπynaπxnCyxshsin,最后，当y=b时，=0，代入上式，有1nn1nn0axnEaxnabnCsinsinsh作傅里叶正弦级数展开，a01nna00dxaxkaxnEdxaxksinsinsin积分，得2aE11nann0])[(又上式，得图接地金属槽的横截面0.800.600.400.20=0=0=0=0yoxab《电磁场》讲稿（2）-B崔翔第9页2020-3-11,...)2,1,0(k1k2nabn1n4Cn4E00nn,sh,本问题的电位函数解答为yaπ1k2xaπ1k2πba1k21k21π4yx0k0shsinsh,本问题的等位线的分布如图虚线所示。圆柱坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为