对称性与周期性

函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题二、建构知识网络一、两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(,)ab对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(,)ab对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。二、单个函数的对称性性质1：函数()yfx满足()()faxfbx时，函数()yfx的图象关于直线2abx对称。证明：在函数()yfx上任取一点11(,)xy，则11()yfx，点11(,)xy关于直线2abx的对称点11(,)abxy，当1xabx时11111()[()][()]()fabxfabxfbbxfxy故点11(,)abxy也在函数()yfx图象上。由于点11(,)xy是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2abx对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）性质2：函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。证明：在函数()yfx上任取一点11(,)xy，则11()yfx，点11(,)xy关于点（2ab，2c）的对称点（1abx，c－y1），当1xabx时，1111()[()]()fabxcfbbxcfxcy即点（1abx，c－y1）在函数()yfx的图象上。由于点11(,)xy为函数()yfx图象上的任意一点可知函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）性质3：函数()yfax的图象与()yfbx的图象关于直线2bax对称。证明：在函数()yfax上任取一点11(,)xy，则11()yfax，点11(,)xy关于直线2bax对称点（1bax，y1）。由于1111[()][]()fbbaxfbbaxfaxy故点（1bax，y1）在函数()yfbx上。由点11(,)xy是函数()yfax图象上任一点因此()yfax与()yfbx关于直线2bax对称。三、周期性1、一般地，对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期2.若T是周期，则(0,)kTkkZ也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()fxC；3、对于非零常数A，若函数()yfx满足(A)()fxfx，则函数()yfx必有一个周期为2A。证明：(2A)[(A)](A)[()]()fxfxxfxfxfx∴函数()yfx的一个周期为2A。4、对于非零常数A，函数()yfx满足1(A)()fxfx，则函数()yfx的一个周期为2A。证明：1(2)()()()fxAfxAAfxfxA。5、对于非零常数A，函数()yfx满足1()()fxAfx，则函数()yfx的一个周期为2A。证明：1(2)()()()fxAfxAAfxfxA。6、对于非零常数A，函数()yfx满足1()()21()Afxfxfx或1()()21()Afxfxfx则函数()yfx的一个周期为2A。证明：先看第一个关系式31()32(2)()3221()2AfxAAfxAfxAfx1()11()1()2()1()1()121()fxAAfxAfxAfxAAfxAfxAfxA(2)()fxAfxA()()fxAfx()(2)fxfxA第二个式子与第一的证明方法相同7、已知函数()fx的定义域为N，且对任意正整数x都有()()()(0)fxfxafxaa则函数的一个周期为6a证明：()()()fxfxafxa（1）()()(2)fxafxfxa（2）两式相加得：()(2)fxafxa()(3)(6)fxfxafxa四、对称性和周期性之间的联系性质1：函数()yfx满足()()faxfax，()()fbxfbx()ab，求证：函数()yfx是周期函数。证明：∵()()faxfax得()(2)fxfax()()fbxfbx得()(2)fxfbx∴(2)(2)faxfbx∴()(22)fxfbax∴函数()yfx是周期函数，且22ba是一个周期。性质2：函数()yfx满足()()faxfaxc和()()fbxfbxc()ab时，函数()yfx是周期函数。（函数()yfx图象有两个对称中心（a，2c）、（b，2c）时，函数()yfx是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：由()()faxfaxc()(2)fxfaxc()()fbxfbxc()(2)fxfbxc得(2)(2)faxfbx得()(22)fxfbax∴函数()yfx是以22ba为周期的函数。性质3：函数()yfx有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba。证明：()()2()(2)2faxfaxcfxfaxc()()()(2)fbxfbxfxfbx(4())(2(42))fbaxfbabx(42)(2(22))2(22)fabxfabaxcfbax2(2(2))2(2)cfbaxcfax2(2())22()()ccfxccfxfx推论：若定义在R上的函数)(xf的图象关于直线ax和点)0,(b)(ba对称，则)(xf是周期函数，)(4ab是它的一个周期证明：由已知()(2),()(2).fxfaxfxfbx()(2)[2(2)][2()][22()][2(2)][22(2)][4()],4().fxfaxfbaxfbaxfabaxfabxfbabxfbaxba周期为举例:sinyx等.性质4：若函数()fx对定义域内的任意x满足：()()fxafxa,则2a为函数()fx的周期。（若()fx满足()()fxafxa则()fx的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：()()fxafxa()(2)fxfxa性质5：已知函数xfy对任意实数x,都有bxfxaf，则xfy是以2a为周期的函数证明：()()faxbfx(2)(())()(())()fxafxaabfxabbfxfx五、典型例题例1（2005·福建理）()fx是定义在R上的以3为周期的奇函数，且(2)0f，则方程()0fx在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2B．3C．4D．5解：()fx是R上的奇函数，则(0)0f，由(3)()fxfx得(3)0f，(2)0f(5)0f(2)0f(1)0(1)0ff∴(4)0f∴x=1，2，3，4，5时，()0fx这是答案中的五个解。但是(15)(153)(15)fff又(15)(15)ff知(15)0f而0(15)(153)(45)fff知1.5,4.5,()0xxfx也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，则(6)f的值为（）(A)－1(B)0(C)1(D)2解：因为()fx是定义在R上的奇函数所以(0)0f，又(4)(2)()fxfxfx，故函数，()fx的周期为4所以(6)(2)(0)0fff，选B例4．已知奇函数)(xf满足)18(log,2)(,)1,0(),()2(21fxfxxfxfx则时且的值为。解：)4()2()()2(xfxfxfxfxf12222289(log18)(log18)(4log18)(log)(log)98fffff29log8299(log)288f例5已知()fx是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x时，()1fxx.求()fx在(1,2)上的解析式。解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上∵(1,2)x,则(2,1)x∴2(0,1)x,∵2T，是偶函数∴()()(2)213fxfxfxxx(1,2)x解法2：（从图象入手也可解决，且较直观）()(2)fxfx如图：(0,1)x,()1fxx.∵是偶函数∴(1,0)x时()()1fxfxx又周期为2，(1,2)x时2(1,0)x∴()(2)(2)13fxfxxx例6()fx的定义域是R，且(2)[1()]1()fxfxfx,若(0)2008f求f(2008)的值。解：(4)11(2)11(4)1()(8)(4)1(2)1(4)1(4)1fxfxfxfxfxfxfxfxfx周期为8，(2008)(0)2008ff例7函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_______________。解：由12fxfx得14()2fxfxfx，所以(5)(1)5ff，则115(5)(1)(12)5fffff例8若函数)(xf在R上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf.①求)(xf的周期；②证明)(xf的图象关于点(2,0)k中心对称;关于直线21xk轴对称,()kZ;③讨论)(xf在(1,2)上的单调性；解:①由已知()(2)(22)(4)fxfxfxfx，故周期4T.②设(,)Pxy是图象上任意一点,则()yfx,且P关于点(2,0)k对称的点为1(4,)Pkxy.P关于直线21xk对称的点为2(42,)Pkxy∵(4)()()fkxfxfxy,∴点1P在图象上,图象关于点(2,0)k对称.又()fx是奇函数,(2)()()fxfxfx∴(42)(2)()fkxfxfxy∴点2P在图象上,图象关于直线21xk对称.③设1212xx，则212