对策论2-070516

第五部分对策论2.3矩阵对策的基本定理2.3矩阵对策的基本定理•E(i,y)--局中人I取纯策略αi时的赢得函数,即:•E(x,j)--局中人II取纯策略βj时的赢得函数,即:njjijyayiE1),(miiijxajxE1),(2.3矩阵对策的基本定理jiijjiijijjiijijiiijijijjiijyjxEyxayxayxExyiExyayxayxE),()(),(),()(),(),(),(),(,...,2,1,...,2,1:),(,,3*******2**1*jxEyxEyiEnjmiGyxSySx有和对任意的解的充分必要条件是是则：设定理2.3矩阵对策的基本定理njyymivyaIImixxnjvxaIVvyxvGyxSySxjjjjjijiiiiiijG,...,2,1,01,...2,1,)(,...,2,1,01,...2,1,)(.,,:),(,,:4*****2**1*且的解分别是以下不等式和使存在数必要条件是的解的充分是则设定理2.3矩阵对策的基本定理),(),(),(,,...,2,1,...,2,1****jxEyxEyiEnjmi有和对njyymivyaIImixxnjvxaIjjjjjijiiiiiij,...,2,1,01,...2,1,)(,...,2,1,01,...2,1,)(•定理5:对任一矩阵对策G={S1,S2;A},一定存在混合策略意义下的解.矩阵对策解的存在性njyymivyavDmixxnjwxawPjjjjjijiiiiiij,...,2,1,01,...2,1,min)(,...,2,1,01,...2,1,max)(互为对偶的线性规划x=(1,0,…0)为一解y=(1,0,…0)为一解线性规划一定有解),(),(),(,,...,2,1,...,2,1****jxEyxEyiEnjmi有和对矩阵对策解的存在性矩阵对策在混合策略意义下的解总是存在的，求解的基本方法为线性规划法。0,)4(0,)3(,0)2(,0)1(:,,),(:6**********jiiijijjijiiijjjjijiGyvxaxvyavxayvyaxVvGyx则若则若则若则若则的解是矩阵对策设定理2.3矩阵对策的基本定理对偶理论的松弛互补性T(G)--矩阵对策G的解集2.3矩阵对策的基本定理)()()2()1(:,),(),(},;,{};,{:721212212121121GTGTLVVLLaAaAASSGASSGGGijij则为任意常数其中和设有两个矩阵对策定理)()()2()1(:.0},;,{};,{:82121221121GTGTVVASSGASSGGG则为任意常数其中和设有两个矩阵对策定理2.3矩阵对策的基本定理.)()()()()2(0)1(:,},;,{:9212121的最优策略和局中人分别为和其中则为斜对称矩阵若对矩阵对策定理IIIGTGTGTGTVAAASSGGT2.3矩阵对策的基本定理00000000,,...,2,1,:II,,...,2,1,:I},;,{:521ljilijkijkjimiaanjaaASSG优超于则称若局中人优超于则称若局中人设有矩阵对策定义2.3矩阵对策的基本定理,,...,,...,,.....................,...,,,...,,},;,{:102121222211121121之一所优超其中被若对矩阵对策定理mmnmmnnaaaaaaaaaAASSG2.3矩阵对策的基本定理由G得到一个新的矩阵策略G’则：其中对},,...,{,...,,.....................,...,,A},;,{2'12122221''2'1'mmnmmnSaaaaaaASSG,,...,,...,,.....................,...,,,...,,},;,{:102121222211121121之一所优超其中被若对矩阵对策定理mmnmmnnaaaaaaaaaAASSG2.3矩阵对策的基本定理由G得到一个新的矩阵策略G’则：其中对},,...,{,...,,.....................,...,,A},;,{2'12122221''2'1'mmnmmnSaaaaaaASSG),...,,0(G),,...,(GI,(3).)2()1(:GG**2**2''''mmGGxxxxGIIGVV的最有策略是则的最优策略是对对局中人的最有策略的最优策略是中局中人的关系与.10,,...,:21成立定理性组合所优超的某个凸线被推论m优超原则局中人I的某纯策略i为其它纯策略或纯策略的凸线性组合优超时，可在矩阵A中划去第i行而得到一个与原对策G等价赢得矩阵阶数较小的对策G’,G’的求解容易些。优超原则局中人II的某纯策略j为其它纯策略或纯策略的凸线性组合优超时，可在矩阵A中划去第j行而得到一个与原对策G等价赢得矩阵阶数较小的对策G’,G’的求解容易些。2.3矩阵对策的基本定理例6设赢得矩阵为求解这个矩阵对策。388065.57864959379520503023A2.3矩阵对策的基本定理解388065.57864959379520503023A第4行优于第1行划去第1行2.3矩阵对策的基本定理解388065.57864959379520503023A第3行优于第2行划去第2行2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵388065.57864959371A2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵388065.57864959371A第1列优超于第3列划去第3列2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵388065.57864959371A第2列优超于第4列划去第4列2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵388065.57864959371A划去第5列1/3第1列+2/3第2列优超于第5列倍数之和不能超过1（概率组合）2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵0664372A2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵0664372A第1行优超于第3行划去第2行2.3矩阵对策的基本定理解；得新的赢得矩阵64373A对于A3，无鞍点存在，应用定理4，求解不等式组0,16437)(0,16347)(2121212143434343yyyyvyyvyyIIxxxxvxxvxxInjyymivyaIImixxnjvxaIVvyxvGyxSySxjjjjjijiiiiiijG,...,2,1,01,...2,1,)(,...,2,1,01,...2,1,)(.,,:),(,,:4*****2**1*且的解分别是以下不等式和使存在数必要条件是的解的充分是则设定理2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵对于A3，鞍点存在，应用定理4，求解不等式组64373A0,16437)(0,16347)(2121212143434343yyyyvyyvyyIIxxxxvxxvxxI首先考虑满足下面两方程组的非负解：16437)(16347)(212121434343yyvyyvyyIIxxvxxvxxI2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵对于A3，鞍点存在，应用定理4，求解不等式组64373A0,16437)(0,16347)(2121212143434343yyyyvyyvyyIIxxxxvxxvxxI首先考虑满足下面两方程组的非负解：16437)(16347)(212121434343yyvyyvyyIIxxvxxvxxI求得解为5;2/1,2/1;3/2,3/1*2*1*4*3vyyxx2.3矩阵对策的基本定理解得新的赢得矩阵对于A3，鞍点存在，应用定理4，求解不等式组64373A0,16437)(0,16347)(2121212143434343yyyyvyyvyyIIxxxxvxxvxxI首先考虑满足下面两方程组的非负解：16437)(16347)(212121434343yyvyyvyyIIxxvxxvxxI求得解为5;2/1,2/1;3/2,3/1*2*1*4*3vyyxx原矩阵对策的解为5,)0,0,0,2/1,2/1(,)0,3/2,3/1,0,0(**GTTVyx方程组解法