13用抽象函数的定义域和值域

抽象函数的定义域和值域复习回顾抽象函数：函数的定义域：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数。函数y=f(x)中,x的取值范围叫做函数的定义域,定义域是一个数集,且不能为空集。函数的值域：函数y=f(x)中,y的取值范围叫做函数的值域,值域是一个数集,且不能为空集。例1(1)已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，求f(3x-5)的定义域．一、抽象函数的定义域：典型例题解:(1)∵函数f(x)的定义域为[-1,5]，∴-1≤3x-5≤5，∴4≤3x≤10，∴4≤3x≤10，410(35){|}.33fxxx的定域是义(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．解:(2)∵函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3],∴1≤x2-2x+2≤5，即：0≤x≤3，∴f(x)的定义域为[1,5].分析：定义域是指x的取值范围。若已知函数f(x)的定义域为A，则函数f(g(x))的定义域为{x|g(x)∈A}；若已知函数f(g(x))的定义域为B，则函数f(x)的定义域为{g(x)|x∈B}。方法总结：一、抽象函数的定义域：典型例题若f(x)的定义域为[-3,5]，求g(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域．∴-4≤x≤0，解：∵f(x)的定义域为[-3,5]，353255xx，，≤≤≤≤5340xx，，≤≤≤≤∴函数g(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域为[-4,0]．方法总结：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．练习[-2，1][0，3]1[,1]2[1，2][3,3][-2，0]（-∞，1][-1，+∞）已知函数f(x)的定义域为[-1，2]。①则函数f(x+1)的定义域为；②则函数f(x-1)的定义域为；③则函数f(2x)的定义域为；④则函数f(3x-4)的定义域为；⑤则函数f(x2-1)的定义域为；⑥则函数f(x+1)+f(x+2)的定义域为；⑦则函数f(2x)的定义域为；⑧则函数的定义域为；⑨则函数f(log2x)的定义域为；⑩则函数的定义域为.1(())2xf12(log)fx1[,2]21[,2]4练习2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；②已知函数f(x-1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；③已知函数f(2x)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；④已知函数f(3x-4)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；⑤已知函数f(x2-1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；⑥已知函数f(2x)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；⑦已知函数的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为；⑧已知函数f(log2x)的定义域是[1,4]，则函数f(x)的定义域为；⑨已知函数的定义域是[1,4]，则函数f(x)的定义域为.1(())2xf12(log)fx[0，4][-2，2][-2，6][-7，5][-1，8]1[8]2，1[,2]8[0，2][-2，0]3.已知f(x)的定义域是[0,4]，求：(1)f(x2)的定义域；(2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．解∵f(x)的定义域为[0,4]，(1)有0≤x2≤4，∴－2≤x≤2.故f(x2)的定义域为[－2,2]．(2)有0≤x＋1≤4，0≤x－1≤4，∴1≤x≤3.故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．练习练习设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求定义域。11()()33yfxfx12,33典型例题分析：定义域是指x的取值范围;先求f(x)的定义域,再求f(log2x)的定义域．例2若函数y=f(2x)的定义域为，则函数f(log2x)的定义域为。[1,2]解：∵函数y=f(2x)的定义域为，[1,2]即12,x∴124,2x∴函数y=f(x)的定义域为，1[,4]2∴21log4,2x∴216,x∴函数f(log2x)的定义域为[2,16].1.若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．解∵f(2x)的定义域是[－1,1]，∴12≤2x≤2，即y＝f(x)的定义域是12，2，由12≤log2x≤2⇒2≤x≤4.∴f(log2x)的定义域是[2，4]．练习练习2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数的定义域。)21(xfy解析：∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，∴-2≤x≤3，∴-1≤x+1≤4，∴y=f(x)的定义域为[-1,4],1124,x124,121xx120,130xx120,130xxxx210,130xxxx11,23xx或102,103xxxx或或∴函数的定义域为)21(xfy),21(]31,(二、抽象函数的值域：典型例题故函数的值域也为[-1,1]。例1若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1]，求函数y=f(3x+2)的值域。解：函数y=f(3x+2)中定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。二、抽象函数的值域：典型例题1[,3]2例2若函数y=f(x)的值域是,则函数的值域为.1()()()Fxfxfx解析：令，()tfx则，132t∴函数在区间是减函数，1()gttt1[,1]2在上是增函数，[1,3]15(),22g∵(1)2,g10(3),3g1()()()Fxfxfx函数的值域为10[2,].310[2,]3换元后，应立即写出元的范围.求出端点值和最值，比较求出值域.达标练习1.函数y=f(x)的定义域为(-∞,1],则函数y=f[log2(x2-2)的定义域是_________.{|2222}xxx或2.若函数y=f(x)的定义域为，则的定义域为。2,21)(log2xf|24xx3.已知函数的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．2(22)fxx15，4.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域为0≤x≤9，则y=f(x)的定义域为________。[0,1]5.函数y=f(x+1)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是.