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第二部分空间与代数第四章三角形第17讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形高分突破在手中考高分无忧⊙考纲要求⊙1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件.2.了解等边三角形的概念及其性质.3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.4.会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.⊙命题趋势⊙2010—2012年广东省中考题型及分值统计★中考导航★年份试题类型知识点分值2010解答题等边三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理16分2011解答题等腰直角三角形、勾股定理9分20121.从近几年的广东省考试内容来看，本讲内容命题难度较大，考查学生的综合能力，是中考命题的热点，考查的重点是勾股定理、等腰三角形、等边三角形性质的综合运用.2．题型以解答题为主．3.2013年考查重点可能是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，与勾股定理、解直角三角形、圆、轴对称、平移和旋转结合起来考查也应重视.★课前预习★1.（2012•遵义）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为.2.（2012•泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=．3.（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°15cm3C4.（2011滨州）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.5．（2011肇庆）在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=________．6.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°，则∠EBC=度．33cm15140★考点梳理★1．等腰三角形(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；即“等边对等角”；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”．④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线．(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．2．等边三角形(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形；(2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于600;②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形．(3)勾股定理及逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．(3)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是600的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形300角所对的直角边等于斜边的一半；③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的长的一半．考点1.等腰、等边三角形的判定和性质1.（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16B．18C．20D．16或20思路点拨：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．★课堂精讲★C2.已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4．求证：△EGB是等腰三角形．思路点拨：根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，根据30°的直角三角形的性质从而证明结论．2.证明：在RtΔEFB中，∠E=030，∴∠EBF=060又∵∠ABC=030，∴∠EBG=∠E=030∴EG=BG∴ΔEGB是等腰三角形.3.（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．思路点拨：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．3.证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．4.（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64思路点拨：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．C考点2.直角三角形的判定及性质、勾股定理5.如图所示，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有．（多选、错选不得分）①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③④CD2=AD-BD.思路点拨：本题考查了直角三角形的性质和勾股定理的知识的应用，运用直角三角形的这些特性加以判断即可．根据①三角形内角和是180°、②勾股定理、③余弦函数、④相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意．6.（2012•河北）如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=．思路点拨：利用对顶角相等得到∠AOB的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求得角A即可．①②④52°7.（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．思路点拨：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．A★随堂检测★1.（2012•攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对2.（2012•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°3.已知：如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形；BB3.证明：∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB∵BE、CD是两条高∴∠BDC=∠CEB=90°又∵BC=CB∴△BDC≌△CEB（AAS）∴∠DBC=∠ECB∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形．4.（2012•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD．求证：∠B=∠E．5．（2012•广州）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为．6.下列说法正确的有（）①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形A.1个B.2个C.3个D.4个4.证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．2D7．已知ABC△的三边长分别为5，13，12，则ABC△的面积为（）A．30B．60C．78D．不能确定8.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A.B.25C.D.359.（2012•怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7B．6C．5D．4ABC