函数值域求法十一种

函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数x1y的值域。解：∵0x∴0x1显然函数的值域是：),0()0,(例2.求函数x3y的值域。解：∵0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21例5.求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）∵Rx∴0y8)1y(42解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：]2,0[22222x41即当22222x41时，原函数的值域为：]21,0[注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数6x54x3值域。解：由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex∵0ex∴01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例8.求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2∵Rx∴]1,1[)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,426.函数单调性法例9.求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在[2，10]上都是增函数所以21yyy在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log2y33min当x=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81例10.求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在],1[上为无上界的增函数所以1yy，2y在],1[上也为无上界的增函数所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为]2,0(7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[例12.求函数2)1x(12xy的值域。解：因0)1x(12即1)1x(2故可令],0[,cos1x∴1cossincos11cosy21)4sin(2∵4540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为]21,0[例13.求函数1x2xxxy243的值域。解：原函数可变形为：222x1x1x1x221y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y当82k时，41ymax当82k时，41ymin而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例14.求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y由)4/xsin(2xcosxsint且2,12x可得：2t22∴当2t时，223ymax，当22t时，2243y故所求函数的值域为223,2243。例15.求函数2x54xy的值域。解：由0x52，可得5|x|故可令],0[,cos5x4)4sin(10sin54cos5y∵04544当4/时，104ymax当时，54ymin故所求函数的值域为：]104,54[8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数22)8x()2x(y的值域。解：原函数可化简得：|8x||2x|y上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），)8(B间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，10|AB||8x||2x|y当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，10|AB||8x||2x|y故所求函数的值域为：],10[例17.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：原函数可变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为],43[例18.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点)1,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|BP||AP|y由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点'P，则构成'ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22即：26y26（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有26|AB|||BP||AP||综上所述，可知函数的值域为：]26,26(注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），)1,2(，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），)1,2(，在x轴的同侧。9.不等式法利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19.求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22的值域。解：原函数变形为：52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅当xcotxtan即当4kx时)zk(，等号成立故原函数的值域为：),5[例20.求函数x2sinxsin2y的值域。解：xcosxsinxsin4yxcosxsin422764]3/)xsin22xsinx[(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224当且仅当xsin22xsin22，即当32xsin2时，等号成立。由2764y2可得：938y938故原函数的值域为：938,93810.一一映射法原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例21.求函数1x2x31y的值域。解：∵定义域为21x21x|x或由1x2x31y得3y2y1x故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或故函数的值域为,2323,11.多种方法综合运用例22.求函数3x2xy的值域。解：令)0t(2xt，则1t3x2（1）当0t时，21t1t11tty2，当且仅当t=1，即1x时取等号，所以21y0（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：21,0注：先换元，后用不等式法例23.求函数42432xx21xxx2x1y的值域。解：4234242xx21xxxx21xx21y2222x1xx1x1令2tanx，则2222cosx1x1sin21x1x21sin21sinsin21cosy22161741sin2∴当41sin时，1617ymax当1sin时，2ymin此时2tan都存在，故函数的值域为1617,2注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。