2020年高考文科数学《数列》题型归纳与训练

12020年高考文科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】题型一等差数列的基本运算例1（1）等差数列{}na的首项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则{}na前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8（2）设{}na为等差数列，公差2d,nS为其前n项和，若1011SS，则1a（）A．18B．20C．22D．24（3）设等差数列{}na的前n项和为nS，＝－2，＝0，＝3，则＝（）A．3B．4C．5D．6（4）等差数列{}na前9项的和等于前4项的和．若11a，40kaa，则k=_____．【答案】(1)A(2)B(3)C（4）10【解析】（1）设{}na的公差为d（0d），由2326aaa，得2(12)(1)(15)ddd，所以2d，66561(2)242S．选A．（2）由1011SS，得1111100aSS，111(111)0(10)(2)20aad．（3）有题意知=0，∴==（）=2，=3，∴公差==1，∴3==，∴5m，故选C.（4）设{}na的公差为d，由94SS及11a，得9843914122dd，所以16d．又40kaa，所以11[1(1)()][1(41)()]066k，即10k．【易错点】等差数列求和公式易记错【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量1,,,,Snnaadn，知其中三个就能求另外两个，体1mSmS1mSmmS1()2mmaa1amamS1mS1ma1mSmSd1mama1ma2m2现了用方程的思想来解决问题．（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．题型二等差数列的判定与证明例1在数列na中，若21a，已知nnaa2121，则数列na前10项的和为______.【答案】25【解析】由已知可得211nnaa，25245204510110daS例2已知数列na满足)(22,1111Nnaaaannnnn（1）证明数列nna2为等差数列；（2）求数列na的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）1222211nnnnnnnnnaaaaa，所以数列nna2是首项为2，公差为1的等差数列.（2）由（1）知1122nnann，所以12nann.例3若数列na的前n项和为nS，且满足2021nSSannn，211a.（1）求证：nS1成等差数列；（2）求数列na的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）证明当2n时，由021nnnSSa，得112nnnnSSSS，所以2111nnSS，故nS1是首项为2，公差为2的等差数列.（2）解由(1)可得nSn21，∴nSn21.3当1n时，211a不适合上式.当2n时，1211nnSSannn.故2121121nnnnan【易错点】忘记写：当2n时或者不知道使用：1nnnaSS【思维点拨】等差数列的证明方法：（1）定义法：daann1)(Nn或daann1)2,(nNnna为等差数列.（2）等差中项法：Nnaaannn212na为等差数列.（3）通项法：BAnanBA,(为常数)na为等差数列.（4）前N项和法：BnAnSn2BA,(为常数)na为等差数列.题型三等差数列前n项和及其最值例1（1）等差数列na的前n项和为nS，已知131a，113SS，当nS最大时，n的值是()A.5B.6C.7D.8（2）若等差数列na满足7890aaa，7100aa，则当n__时na的前n项和最大．【答案】(1)C(2)8【解析】（1）由113SS，根据等差数列的性质，可得087aa.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到07a，08a，故7n时nS最大.（2）∵数列na是等差数列，且789830aaaa，80a．又710890aaaa，∴90a．当8n时，其前n项和最大．【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。【思维点拨】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和2nSAnBn(,AB为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.4题型四等比数列的基本运算例1（1）等比数列{}na满足13a，13521aaa，则357aaa=（）A．21B．42C．63D．84（2）等比数列的前项和为，已知，，则=（）A．B．C．D．（3）已知数列na为等比数列，nS是是它的前n项和,若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5S（）A．35B．33C．3lD．29（4）设ns为等比数列{}na的前n项和，2580aa则52SS（）A．－11B．－8C．5D．11【答案】(1)B(2)C(3)C（4）A【解析】（1）由于241(1)21aqq++=，13a=，所以4260qq+-=，所以22q=(23q=-舍去)，所以36a=，512a=，724a=，所以35742aaa++=．（2）设等比数列的公比为，∵，∴，即，∴，由，即，∴．（3）设的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa，即42a．由4a与27a的等差中项为54知，475224aa，7415(2)24aa14．∴37418aqa，即12q．3411128aaqa，nannS32110Saa59a1a13131919naq32110Saa1232110aaaaa319aa29q59a419aq119ana5116a，55116(1)231112S．（4）通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=－2，所以5522113211114SqSq．【易错点】等比数列求和公式易记错【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法（1）等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量1,,,,Snnaadn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和q是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．题型五等比数列的判定与证明例1已知数列na满足1a=1，131nnaa．证明12na是等比数列，并求na的通项公式；【答案】见解析【解析】由131nnaa得1113()22nnaa．又11322a，所以12na是首项为32，公比为3的等比数列．1322nna，因此na的通项公式为312nna．【易错点】等比数列的定义证明方法【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法：（1）定义法：qaann1（常数）)(Nn或qaann1（常数）)2,(nNnna为等比数列.（2）等比中项法：Nnaaannn221na为等比数列.（3）通项法：11nnqaa0,01qana为等比数列.6题型六等差数列等比数列求前n项和例1在等比数列{}na中，253,81aa.（1）求na；（2）设3lognnba，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】见解析【解析】（1）设{}na的公比为q，依题意得141381aqaq，解得113aq，因此，13nna.（2）因为3log1nnban，∴数列{}nb的前n项和21()22nnnbbnnS.例2已知等差数列{}na和等比数列{}nb满足111ba，1042aa，542abb（1）求{}na的通项公式；（2）求和：12531nbbbb.【答案】见解析【解析】（1）设{}na的公差为d，由11a，1042aa，得2d，所以12nan.（2）由（1）知95a.设{}nb的公比为q，由11b，542abb，得，所以32q，所以12nb是以11b为首项，32qq为公比的等比数列，所以2133131112531nnnbbbb.【易错点】等比数列求和时项数的确定【思维点拨】（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.（2）通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.题型七分组转化法求和例1在等差数列na中，24a，4715aa．（1）求数列na的通项公式；（2）设22nanbn，求12310bbbb的值．7【答案】见解析【解析】（1）设等差数列na的公差为d．由已知得11143615adadad，解得131ad．所以*112naandnnN．（2）由（1）可得2nnbn，所以231012310212223210bbbb23102222123101011112121101022552532101122.【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错【思维点拨】若数列nc的通项公式为nnnbac，且na，nb为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列nc的前n项和.题型八裂项相消法求和例1已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（1）求na及nS；（2）令211nnbaNn，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）12nannnSn22（2）14nnTn【解析】略【易错点】裂项时易出错，解不等式时也易出错【思维点拨】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.8【巩固训练】题型一等差数列的基本运算1.记nS为等差数列{}na的前n项和，若3243SSS，12a，则5a（）A．12B．10C．D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故选B．2.已知na为等差数列，其公差为2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为（）A．－110B．－90C．90D．110【答案】D【解析】【解析】因为7a是3a与9a的等比中项，所以2739aaa，又数列na的公差为2，所以2111(12)(4)(16)aaa，解得120a，故20(1)(2)222nann，所以1101010()5(202)1102aaS．题型二等比数列的基本运算1.已知数列na为等比数列，nS是是它的前n项和,若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5SA．35B．33C．3lD．29【答案】B【解析】设na的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa，即42a．由4a与27a的等差中项为54知，475224aa，7415(2)24aa14．∴37418aqa，即12q．1012