中考数学的规律性问题

登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第1页（共31页）版权所有@21世纪教育网华东地区2012年中考数学试题（53套）分类解析汇编专题14：规律性问题一、选择题1.（2012山东滨州3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【】A．52012﹣1B．52013﹣1C．2013514D．2012514【答案】C。【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。【分析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，∴5S﹣S=52013﹣1，∴S=2013514。故选C。2.（2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【】．A．32B．126C．135D．144【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。∴最大数为24，最小数为8。登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第2页（共31页）版权所有@21世纪教育网∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。3.（2012山东日照4分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【】（A）n113（B）n13（C）n113（D）n213【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。【分析】寻找规律：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。又∵AB=1，∴C1D1=13，即正方形A1B1C1D1的边长为13。同理，正方形A2B2C2D2的边长为213，正方形A3B3C3D3的边长为313，……正方形AnBnCnDn的边长为n13。故选B。4.（2012山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【】A．3B．4C．5D．6【答案】C。【考点】分类归纳（图形的变化类）。登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第3页（共31页）版权所有@21世纪教育网【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为5：故选C。5.（2012山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【】(A)2(B)4(C)5(D)6【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为7，相接触的两个面上的数字的积为6，结合左视图知，几何体下面5个小立方体的左边的数字是1，右边的数字是6；结合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是3，反面的数字是4；根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是2（如图）。根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右上方的小立方体下面的数字是3；根据任意两对面上所写的两个数字之和为7，几何体右上方的小立方体上面的数字是4。∴俯视图上“※”所代表的数是4。故选B。6.（2012山东济南3分）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是【】登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第4页（共31页）版权所有@21世纪教育网A．（2，0）B．（－1，1）C．（－2，1）D．（－1，－1）【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，相遇问题及按比例分配的运用。【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律作答：∵矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，∴物体甲与物体乙的路程比为1：2。由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×13=4，物体乙行的路程为12×23=8，在BC边相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×13=8，物体乙行的路程为12×2×23=16，在DE边相遇；③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×13=12，物体乙行的路程为12×3×23=24，在A点相遇；…此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，∵2012÷3=670…2，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×13=8，物体乙行的路程为12×2×23=16，在DE边相遇。此时相遇点的坐标为：（－1，－1）。故选D。登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第5页（共31页）版权所有@21世纪教育网7.（2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4…，则点A30的坐标是【】A．（30，30）B．（﹣82，82）C．（﹣42，42）D．（42，﹣42）【答案】C。【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。【分析】∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而30÷4=7余2，∴A30在直线y=﹣x上，且在第二象限。即射线OA30与x轴的夹角是45°，如图OA=8，∠AOB=45°，∵在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，∴OA30=8。∵A30的横坐标是﹣8sin45°=﹣42，纵坐标是42，即A30的坐标是（﹣42，42）。故选C。8.（2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【】A．43B．44C．45D．46【答案】C。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…∴m3分裂后的第一个数是m(m－1)＋1，共有m个奇数。登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第6页（共31页）版权所有@21世纪教育网∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071，∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m＝45。故选C。9.（2012江苏盐城3分）已知整数1234,,,,aaaa满足下列条件：10a,21|1|aa,32|2|aa,43|3|aa,…,依次类推，则2012a的值为【】A．1005B．1006C．1007D．2012【答案】B。【考点】分类归纳（数字的变化类）【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分n是奇数和偶数讨论：：∵10a，21|1|=1aa，32|2||12|=1aa，43|3|=|13|=2aa，54|4|=|24|=2aa，65|5|=|25|=3aa，76|6|=|36|=3aa，87|7|=|37|=4aa，…，∴当n是奇数时，1=2nna，n是偶数时，=2nna。∴20122012==10062a。故选B。10.（2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【】登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第7页（共31页）版权所有@21世纪教育网A.511a32B.511a23C.611a32D.611a23【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。根据三角形中位线定理，得GE=FH=111a=a236，GB=CH=1a6。∴AG=AH=5a6。又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。∴GH=AG=AH=5a6。EF=GH－GE－FH=5111aaa=a6662。∴第2个等边三角形的边长为1a2。同理，第3个等边三角形的边长为21a2，第4个等边三角形的边长为31a2，第5个等边三角形的边长为41a2，第6个等边三角形的边长为51a2。又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的13，∴第6个正六边形的边长是511a32。故选A。11.（2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】登陆21世纪教育助您教考全无忧21世纪教育网精品资料·第8页（共31页）版权所有@21世纪教育网A．2010B．2012C．2014D．2016【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，∴2016既是三角形数又是正方形数。故选D。12.（2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，由51040n30550﹣，解得1113