定积分的概念

第五章定积分及其应用§5-1定积分的概念主要内容:1.定积分的概念2、定积分存在定理3、定积分的几何意义4.定积分的性质§5-1定积分的概念abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题的提出)(xfy用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）abxyo)(xfyabxyo)(xfy曲边梯形如图所示，下面分四个步骤求A,,,,,,,],[)(bnxnxxxxabxaxxxxnbann1210110121使令个分点内任意插入分割：在区间ix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，即边梯形的面积面积近似代替相应小曲为底的小矩形为高、，用上任取一点替代：在每个小区间iiiiiiAxfxx)(],[)2(1iiixfA)(A＝niiA1abxyo)(xfyiiniixfA)(1(3)求和：曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度细取极限：当分割无限加)(},,max{,)(0421nxxx曲边梯形面积为:以上做法的步骤:分割、替代、求和、取极限.abxyoix1x1ix1nxi)(xfy实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（3）求和iinitvs)(1（4）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值itt1ititi（2）替代设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的概念定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和我们称这个极限I为函数)(xf注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.iniitvs)(lim10iniixfA)(lim10(4)badxxf)(21)(TTdttvbadxxf)(是一个确定的常数.当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1称)(xf在区间],[ba上可积.定理3闭区间上的有界单调函数可积.以上定理的证明省略,只要求记住结论..],[)(],[)(2上可积在第一类间断点，则上有界，且只有有限个在设定理baxfbaxf二、定积分存在定理例1利用定义计算定积分.10dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1-1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)xyxyoni1ni1因为被积函数f(x)=x在区间[0,1]上连续且有界，.]10[上可积，所以在如图所示，为了方便，21.)(ninnixfii则：nixii取211nini1121niin22)1(nnnn0dxx10iinix110lim.21nn21nnn21limiinixf)(11例2利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixx0yx12xy)...,4,3,2,1(ninixii取nnini121niin12316)12)(1(13nnnnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义abxyoA)(xfyabxyoA)(xfy各部分面积的代数和．之间的的图形及两条直线函数轴、于上有正有负时，它是介在当bxaxxfxbaxf,)(],[)(的几何意义：badxxf)(4321)(AAAAdxxfba即)(xfyab1A2A3A4Adxx10.21例1利用定义计算定积分.10dxxxyxyoni1ni1dxx102.31例2利用定义计算定积分.102dxx0yx12xy小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本内容四.定积分的性质证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2性质1.2称为定积分的线性性质.badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3abxyo)(xfycdxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，oyxab11)(xfoyxab)(xfA性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）oyxab)(xf)(xg例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解,xex＞]0,2[xdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx.103102的大小与比较dxxdxxdxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.性质5的推论：（2）设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6abxyo)(xfymM)(ba例2估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。例3已知3022029,38dxxdxx，计算322.dxx解因为302032222,所以dxxdxxdxx323020222319389dxxdxxdxx.320sin的范围试估计定积分例dxex所以有是增函数，函数因为xexx),20(1sin0)20(1sinxeex解edxex2220sin由定积分的估值定理得例4比较下列各对定积分地大小：2020323121sin,)3.(ln,ln)2.(ln,ln)1(xdxxdxxdxxdxdxxdxxeeee.lnln14,lnln],,1[,1ln0)1(1212dxxxdxxxexxee得推论因而由性质所以因.lnln14,lnln],3,[,1ln)2(3232dxxxdxxxexxee得推论因而由性质所以因解.sin14],2,0[,sin)3(2020dxxxdxxxx得推论因而由性质因例5估计定积分.)sin1(4542的值dxx解.2sin1.2sin11],45,4[,1sin0454222dxxxxx）（因而由积分估值性质得所以因3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．作业:理解并熟记概念和性质