26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式回顾:用待定系数法求解析式已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式。解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),所以k+b=3-2k+b=-12解得k=3,b=-6一次函数的解析式为y=3x-6.解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得:因此:所求二次函数是:a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例1已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求这个函数的解析式.用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a,b,c的值。由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式解:因为抛物线的顶点为(-1,-3),所以,设所求的二次函数的解析式为y=a(x+1)2-3例2已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5),求抛物线的解析式。因为点(0,-5)在这个抛物线上,所以a-3=-5,解得a=-2故所求的抛物线解析式为y=-2(x+1)2-3即:y=-2x2-4x-5。用待定系数法求二次函数的解析式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时,通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.2.特别地,当抛物线的顶点为原点是,h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.3.当抛物线的对称轴为y轴时,h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.4.当抛物线的顶点在x轴上时,k=0,可设函数的解析式为y=a(x-h)2.所以设所求的二次函数为y=a(x+1)(x-1)例3已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1),求抛物线的解析式?又∵点M(0,1)在抛物线上∴a(0+1)(0-1)=1解得:a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x+1)(x-1)即:y=-x2+1用待定系数法求二次函数的解析式解:因为抛物线与x轴的交点为A(-1,0),B(1,0),交点式y=a(x-x1)(x-x2).(a、x1、x2为常数a≠0)当抛物线与x轴有两个交点为(x1,0),(x2,0)时,二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),在把另一个点的坐标代入其中,即可解得a,求出抛物线的解析式。交点式y=a(x-x1)(x-x2).x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标,这两个交点关于抛物线的对称轴对称,则直线就是抛物线的对称轴.221xxx应用例4有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式.解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意可知抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点可得方程组通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而确定函数的解析式.过程较繁杂,评价设抛物线为y=a(x-20)2+16解:根据题意可知∵点(0,0)在抛物线上,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解,方法比较灵活评价∴所求抛物线解析式为例4有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式.应用设抛物线为y=ax(x-40)解:根据题意可知∵点(20,16)在抛物线上,选用两根式求解,方法灵活巧妙,过程也较简捷评价例4有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式.应用课堂练习数的解析式。)三点,求这个二次函,(),,),(,经过(、一个二次函数的图象式。求这个二次函数的解析时,与当,时,函数值变量、一个二次函数,当自9111002.0212101yxyx课堂小结求二次函数解析式的一般方法:已知图象上三点或三对的对应值,通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标通常选择顶点式已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标通常选择交点式确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点,恰当地选用一种函数表达式,一般式:例1求经过有三点A(-2,-3),B(1,0),C(2,5)的二次函数的解析式.xyo····-3–2–112········ABC···5-3分析:已知一般三点,用待定系数法设为一般式求其解析式.顶点式:khxay2)(例2已知抛物线的顶点为D(-1,-4),又经过点C(2,5),求其解析式。xyo····-3–2–112········ABC···5-3-4分析:设抛物线的解析式为,再根据C点坐标求出a的值。顶点式:4)1(2xay交点式:))((21xxxxay例3已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3,0)、B(1,0),又经过点C(2,5),求其解析式。xyo····-3–2–112········BC···5-3A分析:设抛物线的解析式为,再根据C点坐标求出a的值。交点式:)1)(3(xxay···充分利用条件合理选用以上三式例4已知抛物线的顶点为A(-1,-4),又知它与x轴的两个交点B、C间的距离为4,求其解析式。yxo····-3–2–112·······ABC···5-3-4分析:先求出B、C两点的坐标,然后选用顶点式或交点式求解。(南通市)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,当时,其图象如图所示。求抛物线的解析式,写出顶点坐标。245-3ABCxy如图,在直角坐标系中,以点为圆心,以为半径的圆与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点D、E.若抛物线经过C、B两点,求抛物线的解析式,并判断点D是否在该抛物线上.(3,0)A23213yxbxcOABDEyxC