二次函数的定义:注意:1、其中,x是自变量,ax2是二次项,a是二次项系数bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.回顾反比例函数的图象一次函数的图象那么二次函数的图象是什么?它有什么特点?又有哪些性质?一条直线双曲线26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:用描点法画二次函数y=x2的图象xy=x20123…-1-2-3…0149…149…xy0-4-3-2-11234108642-21描点,连线y=x2?观察图象,回答问题:(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2观察图象,回答问题串(3)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?(4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y的值如何变化?在对称轴右侧呢?xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2观察图象,回答问题串(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?xy0-4-3-2-11234108642-21y=x22xy这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.2xy在对称轴的左侧时,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧时,y随着x的增大而增大.当x=-2时,y=4当x=-1时,y=1当x=1时,y=1当x=2时,y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状?x…-3-2-10123…y=-x2x…-9-4-10-1-4-9…xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2y=x2x0123…-1-2-3…0149…149…(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?你能根据表格中的数据作出猜想吗?2xy2xy2xy这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.yy2xy在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2(0,0)(0,0)y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值y=0.当x=0时,最大值y为=0.在对称轴的左侧(当x<0时)y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧(当x>0时)y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧(当x<0时),y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧(当x>0时),y随着x的增大而减小.函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:y=x2y=-x2xy0yx01.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值2xy2xy1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a0时,性质:当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,性质:当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质12345x12345678910yo-1-2-3-4-5函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?12共同点:不同点:开口都向上;顶点是原点而且是抛物线的最低点,对称轴是y轴开口大小不同;2yx212yx22yx|a|越大,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.抛物线的开口越小.x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5函数y=-x2,y=-2x2的图象与函数y=-x2(图中细黑线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?12共同点:开口都向下;不同点:顶点是原点而且是抛物线的最高点,对称轴是y轴开口大小不同;|a|越大,221xy2xy22xy在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.抛物线的开口越小.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是_____;对称轴是______;在___________侧,y随着x的增大而增大;在_________侧,y随着x的增大而减小;当x=时,函数y的值最小,最小值是;抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).(0,0)y轴对称轴的左0对称轴的右0上(2)抛物线在x轴的方(除顶点外),当x_____时,y随着x的增大而增大;当x_____时,y随着x的,增大而减小当x=0时,函数y的值最大,最大值是_____,当x0时,y0.232xy下000回味无穷2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a0时,在对称轴的左侧(当x<0时),y随着x的增大而减小;在对称轴右侧(当x>0时),y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,在对称轴的左侧(当x<0时),y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧(当x>0时),y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.小结拓展1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.由二次函数y=x2和y=-x2知:2xy2xy4、抛物线y=ax2的图象中a决定开口方向和形状.a相同开口方向相同、形状相同,|a|越大,开口越小.