第09章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

第9章组合变形杆件的应力分析与强度计算本章主要介绍杆在斜弯曲、拉伸(压缩)和弯曲、偏心压缩(偏心拉伸)以及弯曲和扭转等组合变形下的应力和强度计算。9.1基本概念与工程实例9.2斜弯曲9.3轴向拉压与弯曲的组合变形9.4偏心压缩（拉伸）9.5截面核心*9.6弯曲与扭转组合9.1基本概念与工程实例eFFT11tF2FFt2F12F1mm2zyoq21qb)c)a)d)TF这些杆件同时发生两种或两种以上基本变形，且不能略去其中的任何一种，称为组合变形杆件。组合变形是属于小变形时，且材料是在线弹性范围内工作。分析方法——叠加法将作用于杆件上的荷载分解或简化成几组荷载，每组荷载只产生一种基本变形；单独计算每一种基本变形下杆件的内力、应力和变形，结果叠加起来得到组合变形下的内力、应力和变形。9.2斜弯曲9.2.1正应力计算9.2.2中性轴的位置、最大正应力和强度条件工程中，外力不作用在梁的纵向对称平面（或形心主惯性平面）内，梁变形后轴线不位于外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。lx,zy()AzyxefFFFzy斜弯曲是两个相互正交的平面弯曲的组合。9.2.1正应力计算lx,zy()AzyxefFFFzycosyFFsinzFF设F力作用在梁自由端截面的形心,Fy、Fz为F沿两形心轴的分量，杆在Fy和Fz单独作用下，将分别在xy平面和xz平面内产生平面弯曲。F与竖向形心主轴夹角为在梁的任意横截面上，由Fy和Fz引起的弯矩为()()coscoszyMFlxFlxM()()sinsinyzMFlxFlxM()MFlx——力F引起的x截面上的弯矩。（1）在Fy单独作用下cos'zzzMyMyII（2）在Fz单独作用下sin''yyyMzMzIIlx,zy()AzyxefFFFzy考察距固端为x的横截面上A点的正应力：cossin'''()zyMyzII，分别为Fy和Fz在A点处引起的正应力应用叠加法9.2.2中性轴的位置、最大正应力和强度条件设中性轴上任一点的坐标为y0和z0。因中性轴上各点处的正应力为零，即00cossin()0zyMyzII因M≠0，故00cossin0zyyzII——中性轴方程上式表明，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设中性轴与z轴成角，则由上式得到00tantanzyyIzIzyyzabcdoa)b)中性轴力作用方向F中性轴对矩形截面，IyIz，即α，因而中性轴与F力方向并不相互垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。对圆形、正多边形截面，Iy=Iz，即α=，中性轴与F力方向垂直，即是平面弯曲。横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的点。zyyzabcdoa)b)中性轴力作用方向F中性轴角点b产生最大拉应力，角点c产生最大压应力，分别为tmaxmaxmaxcossin()yzzyzyMMMyzIIWWcmax()yzzyMMWW对于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面，根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正应力显然产生在角点上。对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最大正应力的点。zyo中性轴D12D如图所示椭圆形截面，当确定了中性轴的位置后，作平行于中性轴并切于截面周边的两条直线，切点D1和D2即为产生最大正应力的点。危险点处于单向应力状态，故强度条件：ttmaxccmax例9–1如图所示悬臂梁，采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q=5kN/m作用，在自由端受水平集中力F=2kN作用。已知截面的几何性质为：Iz=5023.54cm4，Wz=401.9cm3，Iy=280.0cm4，Wy=48.28cm3。试求梁的最大拉应力和最大压应力。a)zyxl＝2m＝5kN/mq＝2kNFzywb)AB解：均布荷载q使梁在xy平面内弯曲，集中力F使梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截面上的A点处产生最大拉应力，B点处产生最大压应力，且两点处应力的数值相等。212yzAzyzyqlMMFl3366151021022()48.2810401.910N/m2=107.7MPa107.7yzBzyMMWWMPa9.3轴向拉压与弯曲的组合变形对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在轴向拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。xyzA()yz,xlFa)b)c)d)e)f)'''上图悬臂梁受轴向拉力及均布荷载，以此为例来说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及强度计算方法。（1）该杆受轴向力F拉伸时，任一横截面上的正应力为N'FA（2）杆受均布荷载作用时，距固定端为x的任意横截面上的弯曲正应力为()''zMxyIxyzA()yz,xlFa)b)c)d)e)f)'''xyzA()yz,xlFa)b)c)d)e)f)'''（3）叠加得x截面上第一象限中一点A(y,z)处的正应力为N()'''zFMxyAI固定端截面有最大弯矩，为危险截面，按叠加原理，该截面的上、下边缘处各点可能是危险点，其正应力为maxNmin()zFMxyAImaxmax'''xyzA()yz,xlFa)b)c)d)e)f)'''max在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横截面内、横截面边缘和横截面以外。xyzA()yz,xlFa)b)c)d)e)f)'''杆在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的强度条件为cmaxctmaxt例9-2如图a所示托架，受荷载F=45kN作用。设AC杆为工字钢，许用应力[σ]=160MPa，试选择工字钢型号。FACB3m1mDFABFAxAyFFByBxFFN(kN)104(kN.m)M45a)b)c)d)解：取AC杆进行分析，其受力情况如图b所示。FACB3m1mDFABFAxAyFFByBxFFN(kN)104(kN.m)M45a)b)c)d)FAy=15kN,FBy=60kN,FAx=FBx=104kNFACB3m1mDFABFAxAyFFByBxFFN(kN)104(kN.m)M45a)b)c)d)AB段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形。AC杆的轴力图和弯矩图如图c和d所示。B截面的上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。强度条件为NmaxtmaxzFMAW≤[]因为A和Wz都是未知量，无法由上式选择工字钢型号，通常是先只考虑弯曲应力，求出Wz后，选择Wz略大一些的工字钢，再考虑轴力的作用进行强度校核。由弯曲正应力强度条件，求出3363maxcm281m101601045MWz由型钢表，选22a号工字钢，Wz=309cm3，A=42.0cm2。考虑轴力后，最大拉应力为33Nmaxtmax46104104510()421030910zFMAWN/m2=170.4MPa[σ]最大拉应力超过许用应力，不满足强度条件，可见22a号工字钢截面还不够大。现重新选择22b号工字钢，Wz=325cm3，A=46.6cm2，此时的最大拉应力为33Nmaxtmax46104104510()46.41032510zFMAWN/m2=160.9MPa[σ]此时，最大拉应力虽然超过容许应力，但超过不到5%，工程上认为仍能满足强度要求。9.4偏心压缩（拉伸）当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。eFFT11tF2FFt2F12F1mm2zyoq21qb)c)a)d)TF偏心压缩单偏双偏xzyyzxxzyFFFB()yz,ezyzyzyzyoooa)b)c)myzmAyz(),FFe以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e(称为偏心距)的偏心压力F为例，来说明。将偏心压力F用静力等效力系来代替。把A点处的压力F向截面形心C点简化，得到轴向压力F和两个在纵对称面内的力偶My、Mz。因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面Oxz、Oxy内的纯弯曲。NFFyFMFzzFMFy在任一横截面上第一象限点B(y,z)处的正应力分别为轴力FN=F引起的正应力N'FFAA弯矩Mz引起的正应力弯矩My引起的正应力''zFzzMyFyyII'''yFyyMzFzzIIyzyzzyzya)b)c)d)中性轴DD12''''''(a)(b)(c)(a)图(c)图(b)图按叠加法，得B点的正应力()FFzyFFyyFzzAIIA为横截面面积；Iz、Iy分别为横截面对z轴、y轴的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径间的关系2yyIAi2yzIAiB点的正应力表达式变为22(1)FFzyFyyzzAii取=0，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程002210FFzyyyzziiyzyzzyzya)b)c)d)中性轴DD12''''''可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。求出中性轴在y、z两轴上的截距00200200zyzFyzyFiayyiazz对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。zyo中性轴1D2D对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处,例中最大压应力和最大拉应力分别在截面的棱角D1、D2处。危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为][][cmaxctmaxtyzyzzyzya)b)c)d)中性轴DD12''''''例9–3一端固定并有切槽的杆，如图a所示。试求最大正应力。F=10kN10cm10cm5cmCzyA解：由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图b所示。（a）(b)对于该截面，F力是偏心拉力。现将F力向该截面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩分别为N10FF0.05zMF0.025yMFkNm=(10×0.05)kN·m=0.5kN·mm=(10×0.05)kN·m=0.25kN·mA点为危险点，该点处的最大拉应力为NmaxyztyzMFMAWW3332210100.5100.510()110.10.050.050.10.10.0566Pa=14MPa9.5截面核心当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横截面上只出现一种性质的应力(偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附近的区域就称为截面核心。对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。为此，应使中性轴不与横截面相交。前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式:00200200zyzFyzyFiayyiazz作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每一条中性轴在y、z轴上的截距ay、az，即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标(yF,zF)。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）oyzbhCDABb66b6hh6①②③④3124矩形截面:边长为a和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。得将与AB边相切的直线①看作是中性轴，其在y、z两轴上的截距分别为oyzbhCDABb66b6hh6①②③④31241ya12zba2211120zFyihya