圆的有关计算

第二十七讲圆的有关计算考点一正多边形和圆的有关计算【主干必备】正多边形和圆1.定义:各边_________,各角也都_________的多边形是正多边形.相等相等2.正多边形和圆的关系:把一个圆__________,依次连接___________可作出圆的内接正n边形.n等分各分点【微点警示】(1)成正多边形的两个要素:一是各边相等,二是各角相等,两者缺一不可.(2)圆内接正多边形的条件:各边相等的圆内接多边形是正多边形,但各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.【核心突破】【例1】(1)(2018·广元中考)如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,点P是上的一点,则∠CPD的度数是(B)A.30°B.36°C.45°D.72°AE(2)(2019·长宁区中考)边长为6的正六边形的边心距为_____.33【明·技法】正多边形的有关边的计算的常用公式(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).2a()212【题组过关】1.(2019·广州市白云区模拟)如图,用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD,则该圆形纸片的面积最少为()A.πB.πC.2πD.4πC22.(2019·泰州姜堰区模拟)如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,则所对的圆周角∠APE等于()A.15°B.25°C.30°D.45°AEC3.(2019·武汉硚口区模拟)如图,正方形的边长为4cm,剪去四个角后成为一个正八边形,则这个正八边形的边长为_________cm.世纪金榜导学号4244.如图,在正五边形ABCDE中,对角线AD,AC与EB分别交于M,N.(1)求∠ADC的度数.(2)求证:四边形EDCN是菱形.【解析】(1)∵在正五边形ABCDE中,对角线AD,AC与EB分别交于M,N,∴∠AED=∠EDC=∠BCD=108°,AC=AD,AE=DE,∴∠EAD=∠EDA=36°,∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=108°-36°=72°.(2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC=CD=DE=EA,∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°,∴∠AEB=(180°-108°)÷2=36°,∴∠BED=72°,∴∠BED+∠CDE=180°,∴CD∥BE,同理DE∥AC,∴四边形EDCN是平行四边形,∵CD=DE,∴四边形EDCN是菱形.考点二弧长有关的计算【主干必备】弧长公式:半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=_______.nR180【微点警示】(1)注意决定弧的长度的两要素:一是圆心角度数,二是圆的半径.(2)注意弧长相等与等弧的区别:等弧是指两个弧的圆心角度数和半径分别相等,弧长相等是指两个弧的圆心角度数和半径的乘积相等.【核心突破】【例2】(2019·黄石中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C,D两点的☉O分别交AC,BC于点E,F,AD=,∠ADC=60°,则劣弧的长为_____.3CD43【思路点拨】连接DF,OD,根据圆周角定理得到∠CDF=90°,根据三角形的内角和得到∠COD=120°,根据三角函数的定义得到CF==4,根据弧长的公式即可得到结论.CDcosDCF【明·技法】弧长公式的理解与变形(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,在应用公式计算时,“n”和“180”可不用写单位.(2)在弧长的计算公式中,已知l,n,R中的任意两个量都可以求出第三个量,变形公式有:180180nR.Rn①；②ll【题组过关】1.(2019·澧县三模)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为6,∠ADC=60°,则劣弧的长为()A.2πB.4πC.5πD.6πACB2.(易错警示题)如图,将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的,长度不变,AB,BC的长度也不变,则∠ABC的度数大小由60°变为()AC6090A.()B.()120180C.()D.()D3.(生活情境题)如图,用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,绳索端点G向下移动了3πcm,则滑轮上的点F旋转了世纪金榜导学号()A.60°B.90°C.120°D.45°B4.(2019·山西模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=1,将△ABC绕点C顺时针旋转,当点B的对应点B′落在AB上时停止,点A经过的路线为,则的长度是_______.AAAA335.(2019·苏州吴中区模拟)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E.世纪金榜导学号(1)求证:DE=AB.(2)以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G,若BF=FC=1,试求的长.EG【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AB=DC,BC=AD,AD∥BC,∴∠EAD=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠AED=90°,在△ADE和△FAB中,∴△ADE≌△FAB(AAS),∴DE=AB.(2)略AEDB90,EADAFB,ADAF，考点三扇形面积有关的计算【主干必备】扇形面积公式:(1)半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形=______.2nR360(2)半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形=_____.1R2l【微点警示】(1)决定扇形面积的两个要素:一是圆心角度数,二是圆的半径.(2)扇形面积公式的结构特征:公式S扇形=lR与三角形面积公式十分类似,可把扇形想象成曲边三角形,把弧长l看作底,R看作底边上的高.12【核心突破】【例3】【原型题】(2018·大庆中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为______.BD23【变形题1】(变换条件)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,则图中阴影部分的面积为______.2512【变形题2】(变换结论)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,若图中阴影部分的面积是,则AB=______.32【明·技法】求不规则图形面积的方法求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①和差法;②割补法.【题组过关】1.(2019·武汉江岸区模拟)如图,☉A,☉B,☉C的半径都是2,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是()A.2πB.πC.πD.6πA122.(2019·重庆沙坪坝区模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是OA的中点,以点O为圆心,OE为半径画弧,交OB于点F,若AB=5,BD=6,则图中阴影部分的面积是()A.6-πB.6-πC.12-πD.12-2πA9163.(2019·硚口区模拟)扇形的弧长为20πcm,面积为240πcm2,那么扇形的半径是_______cm.244.(2019·无锡滨湖区模拟)如图,在△ABC中,AC=4,将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC,则图中阴影部分的面积为______.世纪金榜导学号435.(2019·泉州晋江市模拟)如图,△ABC是边长为的等边三角形,以BC为直径的半圆与AB交于点D,与AC交于点E,连接DE.世纪金榜导学号23(1)求线段DE的长.(2)若分别以B,C为圆心,为半径画和,求以BC为直径的半圆与,围成的图形(图中阴影部分)的面积.23ACABACAB【解析】(1)取线段BC的中点O,连接OD,OE,由题意可得,OB=OD=OE=OC,∠B=∠C=60°,AB=BC=AC,∴△ODB和△OEC都是等边三角形,∴BD=CE=OB=OC=BC,∴点D,E是AB边和AC边的中点,∴DE是△ABC的中位线,∵△ABC是边长为的等边三角形,∴DE=.12233(2)由题意可得,以BC为直径的半圆与,围成的图形(图中阴影部分)的面积是:ACAB22602311[2323sin60]22336022123523sin60()33.222（）＝考点四圆锥有关的计算【主干必备】圆锥的侧面积与全面积:母线长为l,底面半径为r的圆锥侧面积为________,全面积为_____________.πrlπr2+πrl【微点警示】(1)圆锥与扇形:圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,其半径等于圆锥的母线.(2)圆锥与三角形:圆锥的纵切面是等腰三角形,其中圆锥的底面圆半径、高和母线构成直角三角形.【核心突破】【例4】(2019·宁波中考)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为()BA.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm【思路点拨】设AB=xcm,则DE=(6-x)cm,根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程,求解即可.【明·技法】圆锥的有关计算中用到的几个等量关系(1)扇形的面积=扇形围成的圆锥的侧面积.(2)扇形的弧长=扇形围成的圆锥的底面周长.(3)设圆锥的底面半径、高和母线长分别为r,h和l,则①r2+h2=l2;②S圆锥侧=πrl;③S圆锥全=πrl+πr2.【题组过关】1.(2019·南京江宁区模拟)如图,圆锥的底面半径为3,母线长为6,则侧面积为()A.8πB.6πC.12πD.18πD2.(2019·十堰丹江口模拟)圆锥的底面半径为1,侧面积为3π,则其侧面展开图的圆心角为()A.90°B.120°C.150°D.180°B3.(2019·淄博周村区模拟)用一张圆心角为120°,半径为3cm的扇形纸片做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为____cm.224.(2019·常德鼎城区模拟)一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm,圆心角为120°的扇形,求:世纪金榜导学号(1)圆锥的底面半径.(2)圆锥的全面积.略