85高中数学(人教版)数列极限课件

第二讲数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S越来越接近S越来越接近S刘徽“割圆术”“割之弥多，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.越来越接近S（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.越来越接近S（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.越来越接近S（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：越来越接近S（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：1/2第二天后：越来越接近S（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：1/2第二天后：1/22第三天后：1/23……1/2n当n无限增大时1/2n的变化趋势为0越来越接近S越来越接近0越来越接近0江泽民主席在哈佛大学的演讲——《江泽民文选》第二卷第59页（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：1/2第二天后：1/22第三天后：1/23……1/2n当n无限增大时1/2n的变化趋势为0极限：变量的变化趋势越来越接近S越来越接近0越来越接近0（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：1/2第二天后：1/22第三天后：1/23……1/2n当n无限增大时1/2n的变化趋势为0极限：变量的变化趋势越来越接近S越来越接近0越来越接近0（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：1/2第二天后：1/22第三天后：1/23……1/2n当n无限增大时1/2n的变化趋势为0极限：变量的变化趋势极限方法：在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法.近似值近似值越来越接近S精确值越来越接近0越来越接近0精确值（一）引例求半径为r的圆的面积S1.作圆的内接正多边形正三角形：S1正六边形：S2正十二边形：S3……Sn当n无限增大时Sn的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.第一天后：1/2第二天后：1/22第三天后：1/23……1/2n当n无限增大时1/2n的变化趋势为0极限：变量的变化趋势极限方法：在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法.变量变量越来越接近0越来越接近0常量常量越来越接近S一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义（二）数列极限的定义1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义定义：nx如果按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列Nnnx,,,,321nxxxx就叫做数列,记为.nx表示：(a)数轴上的一系列点(b)平面上的一系列点1x2x3x4x1234noxn1x2x3x4xnxx实质：自变量为正整数的函数(),Nnxfnn（二）数列极限的定义1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义（二）数列极限的概念1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义（二）数列极限的概念1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义例：（1）:11n,311,211,2（2）:11n,43,21,0（3）:)1(1nn,32,211,0（4）:)1(nn,3,2,1（5）:2)1(1n,0,1,0,1增减性依次递减依次增大来回摆动来回摆动来回摆动变化趋势111无限大无变化趋势为常数数列极限的描述性定义如果当n无限增大时，nx无限接近于常数a，则称常数a为数列nx的极限．（二）数列极限的概念1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义（二）数列极限的概念1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义当n无限增大时，nx无限接近于常数a，当n无限增大时，axn无限变小当n无限增大时，axn要多小有多小对于任意给定的正数，都可以找到一项，使得该项以后的所有项，axn小于上述给定的正数当n无限增大时，n11无限接近于110n取,10N当Nn时，例如果当n无限增大时，nx无限接近于常数a，则称常数a为数列nx的极限。给定0.1欲使nn11111.01.0111n01.001.010001.0100给定ε0，欲使nn11111n取,11N当Nn时，111n设{nx}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当Nn时，不等式axn都成立,那么就称常数a是数列{nx}的极限,或者称数列{nx}收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn数列极限的精确定义：,0即：limnnxa正整数,N当Nn时,有||axn1.关于ε任意变小，描述了与的无限接近程度.nxa相对固定，根据给定的ε找N．2.关于N依赖于ε，有时可记作N（ε）.不唯一.axNnNn,0,0注例1证明02sin1limnnn例2证明)1(1limaann例3证明)1(0limqqnn注1.记住重要结论2.证明的关键：依据ε找N（N可以不同）3.找N的方法：常用“适当放大”的方法4.放大的技巧：利用各种不等式歌谣：证明规律遵执果索其因依据ε找NN能找到结论断言真如何找N适当放大身若把技巧问不等式来寻关键要把准（二）数列极限的概念1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义（二）数列极限的概念1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的精确定义4．数列极限的意义1．几何意义axaaxnnaxNnNn,0,0,,nNnNaxa00x1x2x2Nx1Nx3x2aaaaaannxo2．粗略说法,0axn“一个时刻”，使得在该“时刻以后”，恒有数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质（一）极限的唯一性如果数列收敛,那么它的极限唯一.nx定理1（二）收敛数列的有界性对数列nx,若存在正数M,使得一切nx,都满足不等式Mxn,则称数列{nx}有界,否则,称为无界.数列有界的定义定理2一定有界.nxnx如果数列收敛,那么数列注一定发散.nxnx如果数列无界,那么数列(1)(2)nx如果数列有界,不一定收敛.nx数列二、收敛数列的性质（三）收敛数列的保号性定理3推论如果,limaxnn且0a(或0a)那么存在正整数,0N当Nn时,都有0nx(或0nx)nx如果数列从某项起有0nx(或0nx)且,limaxnn那么0a(或0a)二、收敛数列的性质（四）收敛数列与其子数列间的关系在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.例如,,,,,2121knnnxxxxx,1nx注子数列概念kn第nk项第k项knk,knx,2nx,二、收敛数列的性质（四）收敛数列与其子数列间的关系注定理4:)1(1n如果数列{xn}收敛于a，那么它任一子数列也收敛,且极限也是a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么{xn}是发散的．例,1,1,1,1:12kx,1,1:2kx,1,111发散数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质您知道吗？刘徽(225—295）用割圆术算到了内接正3072边形的面积,求得π=3.1416祖冲之（429—500）用割圆术算到了内接正24576边形的面积,求得π在3.1415926与3.1415927之间