Lecture 6-02

6.3去除趋势的方法在实际应用当中，平稳时间序列要比非平稳时间序列具有更多吸引人的特性。另外，平稳时间序列与非平稳时间序列在某些重要特性方面差异明显。但是，含有趋势的时间序列却永远也不会回复到一个长期的固定水平。随机扰动对含有趋势的时间序列的影响将是长久的，表现出一种长期的记忆性。如果含有趋势成分的非平稳时间序列参与到计量回归中，许多经典的回归估计假设条件将不再满足，所以就必须小心解释相应的统计检验和统计推断，有的情况下会出现所谓的“伪回归”现象，而有的条件下需要应用协整分析方法。一般来说，常用的去除趋势的方法有差分法和去除趋势法，前者主要针对随机趋势非平稳时间序列，而后者主要针对含有确定性趋势的非平稳时间序列。6.3.1差分法差分法一般用来去除含有随机趋势的非平稳时间序列。如果从AR模型的平稳性条件来考虑，它非平稳，就是因为它的特征方程的根含有一个单位根。所以也被称为“单位根过程”，或者“一阶单整过程”，记做I(1)，其中“I”表示单整，“(1)”表示单整的阶数。随机趋势非平稳过程可以通过差分法变为平稳过程。如果是I(1)，则一次差分即可实现，而对于I(2)过程，则可以通过两次差分获得平稳过程。以随机游走过程为例，一阶差分就是指使用原过程获得一次差分项的表达式，其中“”表示差分符号。所以：（5.22）1tttyyytty从模型（6.22）可以看出，基于随机游走过程的一次差分是一个平稳的随机时序变量，因为等于平稳白噪音过程。tyt图6-4RWD及其一次差分后序列04080120160200255075100y(t)=2+y(t-1)+e-1012345255075100firstdifference以上处理方法很容易拓展到高阶单整序列。例如，假设是一个I(2)过程，那么对其二次差分就可以获得平稳序列，即：其中：“”表示二次差分符号。依此类推，“”表表示三次差分符号，而“”表示n次差分符号。ty23n212112)()()(tttttttttyyyyyyyyy对于ARIMA(p,1,q)来说，***()()()(1)()(1)()()()()ttttttLyLLLLLLyLLyL假定虽然我们这里讨论的是一阶单整形式的ARIMA模型，但二阶或者其他高阶ARIMA模型可以运用类似的思路获得平稳的差分序列。概括地说，一个ARIMA(p,d,q)过程，经过d次差分后就可以获得对应的平稳过程。6.3.2去除趋势法1(1)ˆˆˆˆˆtttttttttyctyLyctyy对于，差分法并不适用，因为去除趋势法需进行如下估计：然后。当然，如果不能确定时间趋势成分是否仅为一次幂的形式，还可以采用更一般的确定性趋势非平稳序列的模型形式，如：。然后可以通过OLS回归，运用“向下检验法”的原则或者信息准则法确定出的阶数，最终获得平稳序列的估计值即可。212mtmtyctttLmtt6.3.3去除趋势的方法比较前面小节讨论了差分法和去除时间趋势法，并且认识到不同的趋势非平稳序列需要采用不同的去除趋势成分的方法。实际上，去除含有趋势成分的非平稳时间序列的方法还有很多滤波方法。常见的有HP滤波、卡尔曼滤波，以及近年来新发展起来的BK滤波和CF滤波。图6-5去除线性时间趋势法获得的序列-.15-.10-.05.00.05.107.07.58.08.59.09.510.01950195519601965197019751980198519901995200020052010残差序列实际序列拟合序列去除线性时间趋势法获得的差分序列的ACF图图6-6差分法获得的序列-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.01950195519601965197019751980198519901995200020052010100*[ln(GDP)-ln(GDP(-4)]差分法获得的序列的ACF图本小节开始我们还提到过其他一些常用的滤波法，利用这些方法也可以获得非平稳时间序列的平稳序列成分。HP滤波就是很常用的一种。假定一个非平稳序列可以分解为趋势成分和平稳成分()，HP滤波使用下列算法来求解趋势成分，即最小化下列函数：(6.33)其中:T是样本大小，被称为惩罚系数，用来控制平稳成分()的平滑程度,（）越大，该序列越平滑。tytttyt12211121()()()]TTttttttttHyTTttytty从模型(6.33)不难看出，当时，最小化模型(6.33)的结果给出的是,即序列的趋势成分等于其本身。而如果在另一极端情况下，那么最小化(6.33)的结果给出的是。也就是说，在情况下，趋势的变化幅度是恒定的，从而趋势成分就是一个线性时间趋势，因为。0ttyty11()()0tttt(1)(1)(2)tttt注意，因为模型(6.33)中的T并不影响函数最小化过程的实质性结果，所以有的教材可能会使用最小化下面的表达式来代替模型(6.33)，即：12211121()()()]TTttttttttHyTT另外，既然惩罚系数对HP滤波的结果至关重要，在实际应用中应该如何设定它的值呢？已有研究表明，对于不同频率的数据，可以参考下列规则来设定的值：10014400，年度数据1600，季度数据，月度数据实际上，这里介绍的是传统的双侧HP滤波，在分析某些问题的过程中，可能还会使用到所谓的单侧HP滤波。单侧HP滤波的算法过程是利用卡尔曼滤波估计出以下模型中的趋势成分，即：(6.35)其中：和是互不相关的白噪音序列。t2(1)tttttyLtt和二者的方差满足下列关系：(6.36)Stock和Watson(1999)建议q的取值原则为：（6.37）ttvar()var()ttq630.75100.67510q，月度数据，季度数据图6-7各种滤波给出的美国真实GDP周期成分-40481960196519701975198019851990199520002005HPFilterKalmanFilterBaxter-KingFilterChristiano-FitzgeraldFilter