投篮问题的数学建模

摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于33.1。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度时所对应的不同篮框的入射角度；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度和篮框的入射角度是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d篮球直径D篮框直径L罚球点和篮框中心的水平距离H篮框中心的高度h篮球运动员的出手高度v篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度、出手高度，计算出手角度和入射角度。图1.1投篮模型由于不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力的影响，从未出手时的球心p为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度投出，可视为质点(球心)的斜抛运动，其运动方程是我们熟知的()cosxtvt2()sin2gtytvt(1.1)其中g是重力加速度，由此可得到球心运动轨迹为如下抛物线：222tan2cosgyxxv(1.2)以x=L，y=H-h代入上式，就得到球心命中框心的条件22222tan112vggLHhgLvv(1.3)可以看出，给定出手速度v和出手高度h，有两个出手角度满足这个条件。而上式有解的前提为2222102ggLHhvv(1.4)可对v求解得222()vgHhLHh(1.5)于是对于一定的高度h，使上式等号成立的为最小出手速度v它是h的减函数。由(1.3)式计算出两个出手速度角度记作1、2且设12，可以看出1是h和v的减函数球入篮筐时的入射角度可从下式得到tanxLdydx(1.6)这里的导数由(1.2)式计算代入后可得2()tantanHhL(1.7)于是对应于1、2，有1、1，设12②问题2)的分析与模型的建立：考虑篮球和篮框的大小时，篮球的直径d，篮框的直径D。显然，即使球心命中球框，若入射角太小，球会碰到框的近侧A，不能入框。如图所示：图1.2球入篮时的模型由图不难得出满足的球心应命中框心且球入框的条件。sindD(1.8)将d=24.6cm，D=45.0cm代入得33.1，前面计算结果中不满足这个条件的，当然应该去掉。③问题3)的分析与模型的建立：球入框时，球心可以偏离框心，偏前的最大距离为x，x可以从入射角算出.根据和球心轨迹中x与的关系，能够得到出手角度允许的最大偏差x，出手速度v允许的最大偏差v可以类似的处理。球入筐时球心可以偏前(偏后与偏前一样)的最大距离为22sinDdx(1.9)为了得到出手角度允许的最大偏差，可以在(1.3)式中以L+x代替L重新计算，但是由于x中包含，从而也包含，所以这种方法不能解析的求出。如果从(1.2)式出发并将y=H-h代入，可得2tan0222gxHhxvcos(1.10)对求导并令x=L，就有22LvgLtandxdgLvsincos(1.11)用x近似代替左边的导数，即可得到出手角度的偏差与x的如下关系2gL-sincosv=x2L(-gLtan)v(1.12)由和已经得到的也容易计算相对偏差类似的，(1.10)式对v求导并令x=L，可得到出手速度允许的最大偏差x2sincos2gLvvvxgL(1.13)由(1.12)、(1.13)式的相对偏差为2tanvvvgL(1.14)2模型的求解及结果分析2.1对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(1.5)式等号成立的v为最小出手速度minv，在这个速度下由(1.3)式可得相应的出手角度0为20tanvgL(2.1)取出手高度h=1.8~2.1(m)，利用公式222()vgHhLHh求出minv，再根据20tanvgL，求出，用MATLAB求解，代码如下：functionv=fun(h);H=3.05;g=9.8;L=4.6;v=sqrt(g*[H-h+sqrt(L^2+(H-h)^2)]);fun(1.8)ans=7.6789fun(1.9)ans=7.5985fun(2.0)ans=7.5186fun(2.1)ans=7.4392结果如下图所示。表2.1对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度h(m)minv(m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344由此得出，对应与最小出手速度是最小出手角度，他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.2对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m)，由公式22222tan112vggLHhgLvv，用MATLAB求解1、2functionf=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.8;h=1.8;t=v^2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v^2*(H-h+g*L^2/(2*v^2))));f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans=62.4099用此求出所有的1，同理可求出2functionf=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.8;h=1.8;t=v^2/(g*L)*(1-sqrt(1-2*g/v^2*(H-h+g*L^2/(2*v^2))));f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans=42.7925求出所有的2，利用所求出的，再根据公式2()tantanHhL，计算出不同的出手角度1、2所对应的不同的入射角度1、2，结果见下表2表2.2对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度v(m/s)h(m)12128.01.81.92.02.162.409963.117463.728164.267042.792540.918839.130037.401953.876355.820657.494158.961520.921320.143119.647819.36988.51.81.92.02.167.697568.028868.336768.624437.504936.007534.521433.044462.172663.188464.117964.972912.625012.775313.024013.35839.01.81.92.02.171.069771.274971.470071.656134.132732.761431.388130.012767.142667.797468.409868.98407.65508.16638.73219.3472根据前面计算，应大于33.1才能保证球入框，这里的2均小于33.1，不满足条件，所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下，出手角度只能是1所对应的1。可以发现，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，这种影响在1左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，出手速度的影响在7~9之间。2.3分析出手角度和出手速度的最大偏差利用2sincos2(tan)gLvxLgLv和上面所求的的1，计算出手角度最大偏差和，再利用(13)、(14)式计算出手速度的最大偏差v和vv，下面只将h=1.8(m)，h=2.0(m)的结果列入下表中。表2.3出手角度和出手速度之间的偏差关系h(m)(度)v(m/s)vvv1.862.409967.697571.06978.08.59.0-0.7562-0.5603-0.45700.05280.06940.08031.22610.82760.64310.65970.81670.89252.063.728168.336771.47008.08.59.0-0.7100-0.5411-0.44630.06010.07340.08321.11400.79180.62440.75110.86400.9243总的看来，允许偏差都相当小。进一步分析可知，速度越大，角度的允许偏差越小，而速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格；出手速度一定时，高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大，但这时对出手角度和出手速度的要求都相对较低。3模型的改进3.1当考虑空气阻力的影响时，出手角度有什么变化。考虑水平方向的阻力时，应该用微分方程求解球心的运动轨迹，由于阻力很小，可作适当简化。然后与前面类似的作各种计算。假设只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比，设比例系数为k。这时水平方向的运动由微分方程0,(0)0,(0)cosxkxxxv(3.1)其解为：1()cosktextvk(3.2)因为阻力不大，时间t也很小(约1秒)，所以将(3.2)式中的公式做泰勒展开后忽略二阶以上的项得到(不考虑竖直方向的阻力，故y(t)仍与(1.1)式相同)，得到2cos()cos2kvtxtvt2()sin2gtytvt(3.3)在不考虑篮球和篮筐大小时，球心命中框心的条件由方程组2coscos02kvtvtL2