行列式的Laplace展开定理

行列式的Laplace展开定理一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D为n阶行列式，Aij为行列式元素aij的代数余子式，那么对任意的，如下四个等式都成立。ji≠DAaAaAaininiiii=+++L2211；02211=+++jninjijiAaAaAaL；DAaAaAanjnjjjjj=+++L2211；02211=+++njnijijiAaAaAaL。上式称为n阶行列式按一行（列）展开的定理。我们问：n阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n阶行列式是否可以按行或列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？kk我们先回顾n阶行列式中元素的余子式和代数余子式的概念。ija定义1在n阶行列式中，把元素所在的第i和第j列划去后，剩下的阶行列式，称为元素的余子式，记为。称为元素的代数余子式，即Dija1−nijaijMijjiijMA+−=)1(ijannjnjnnnijijiinijijiinjjnjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaM,1,1,1,1111,11,1,11,11,11,121,21,22111,11,111,LLMMMMLLLLMMMMLLLL+−+++−++−+−−−−+−+−=；ijjiijMA+−=)1(二、行列式的Laplace展开定理为了将n阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按行或列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。kk定义1在n阶行列式中，任取行，k列（Dk)11−≤≤nk），位于这行、列交点处的个元素按原来的相对位置组成的阶行列式kk2kkM称为的一个阶子式。D中划去DkM所在的行与列后，剩下的元素按原来的顺序构成阶行列式称为kn−NM的余子式。若子式M由行列式的第行和Dkiii,,,21L1kjjj,,,21L列相交处的元素构成，则称NAkkjjjiii+++++++−=LL2121)1(为M的代数余子式。例如，在5阶行列式6535559664650433472256311中选取第1、4行，第2、3列得到一个2阶子式126631−==M，那么，M的余子式为18655653342==N；M的代数余子式为18)1(3241=−=+++NAn阶行列式有个阶子式，对每一个阶子式knknCC⋅kkM，它的余子式和代数余子式NA都是由M唯一确定的。定理（Laplace展开定理）在n阶行列式D中，任意取定某个行（列），则行列式D等于由这个行（列）元素构成的一切阶子式与其代数余子式的乘积之和，即k)11(−≤≤nkkkiM),,2,1(knCiL=iAmmmiiiAMAMAMAMD+++==∑=L22111其中)!(!!knknCmkn−==。定理的证明从略。显然行列式按一行（列）展开的定理是Laplace展开定理的特例。2三、举例Laplace展开定理表明：一个n阶行列式可用若干个阶与阶子式计算求得。如果行列式的某行（列）中含有较多的0，用此定理可是计算大为简化。kkn−k例1用Laplace展开定理计算1200021200021200021200021=D解按1，2行展开。这两行共组成个二阶子式，但其中不为零的只有3个，即1025=C312211−==M，222012==M，421023==M对应的代数余子式为7120212021)1(21211−=−=+++A，6120210022)1(31212−=−=+++A，0120210020)1(32213=−=+++A。故9332211=++=AMAMAMD例2证明rrrrkkkkrrrrkrrkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaaDLMMLLMLLLMMMMLLLLMMMMLL111111111111111111110000⋅==证按前行展开。前行共组成个阶子式，但其中不为零的只有1个，即kkkkrC+kkkkkaaaaMLML11111=，对应的代数余子式为3rrrrkkbbbbALMMLLL1111)21()21(1)1(+++++++−=rrrrbbbbLMML1111=故rrrrkkkkbbbbaaaaAMDLMMLLML1111111111⋅==练习用Laplace展开定理计算下列各题1．8007065004302001。2．计算阶行列式n2ddccdcbabbaaDn00002ONNO=。3．计算n+1阶行列式nnnaaaaaaaaD−−−−−−−=−11000010000001100001100001132211LLMMMMLLL。4