行列式的性质及应用

目录1.行列式的定义和性质..............................................................11．1定义.....................................................................11.2n阶行列式具有的性质.....................................................12.行列式的计算...................................................................42.1数字型行列式的计算(四种方法)..............................................42.1．1.三角化法...........................................................42．1．2递推法............................................................42.1．3．数学归纳法........................................................62．1．4公式法............................................................72.2行列式的概念与性质的例题..................................................72.3抽象行列式的计算..........................................................72.4含参数行列式的计算........................................................82.5特殊行列式的解法..........................................................82.5．1范德蒙行列式.......................................................83.关于0A的证明...............................................................94.行列式应用....................................................................114.1行列式在线性方程组中的应用...............................................114.2行列式在初等代数中的几个应用.............................................124.2.1用行列式分解因式...................................................124.2.2用行列式证明不等式和恒等式.........................................134.3行列式在解析几何中的几个应用.............................................144.3.1用行列式表示公式...................................................144.4行列式在平面几何中的一些应用.............................................164.4.1三线共点...........................................................164.4.2三点共线...........................................................164.4.3应用举例...........................................................164.5行列式在三维空间中的应用.................................................174.5.1平面组.............................................................174.5.2点组..............................................................204.6行列式在多重积分中的应用.................................................22参考文献:.......................................................................2411.行列式的定义和性质1．1定义（设为n阶）：n阶行列式是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()njjj表示排列12njjj的逆序数。1.2n阶行列式具有的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题。n级行列式一共有n!项，计算他就需要做n!(n-1)个乘法。当n较大时，n!是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。因此我们有必要进一步讨论行列式的性质。利用这些性质可以化简行列式的计算。在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行和列，所以对于某一确定的行中n个元素（譬如αi1,αi2…，αin）来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中元素。因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有α11第二组的项都含有αi2等等。再分别把i行的元素提出来，就有1112121222111122112nniiininnnnaaaaaaaAaAaAaaa（1）其中Aij代表那些含有αij的项在提出公因子αij之后的代数和。至于Aij究竟是哪一些项的和我们暂且不管，后面章节再来讨论。从以上讨论可以知道，Aij中不再含有第i1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaAaaaaaa2行的元素，也就是Aij，Ai2,…,Ain全与行列式中第i行的元素无关。1．性质（1）行列互换，行列式不变。即111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212niiinnnnnaaakakakaaaa=k111211212niiinnnnnaaaaaaaaa特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即11121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa.4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。5．性质（5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即311121111211212121212120nniiiniiiniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaakkakakaaaaaaaaaa.6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即11121111211112111221212121212121212nnnikikinkniiinkkknkkknkkknkkknnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaacaacaacaaaacacacaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaaaaaaa7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即1112111121111211211221122121212121212nnniiinikikinknikikinknkkknkkkniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa41112111121121212121212nnkkknkkkniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2.行列式的计算2.1数字型行列式的计算(四种方法)2.1．1.三角化法例计算行列式1122331111111bbbDbbb之值。解：从第1行开始,依次把每行加至下一行,得1112222333331111111111111111bbbbbbDbbbbbb例计算行列式xaaaaxaaDaaxaaaax之值。解：把每行均加至第一行,提出公因式1xna,再把第一行的a倍分别加到第二行至第n行,得111111111(1)(1)(1)()nnaxaaxaDxnaxnaxnaxaaaxaxaaaaxxa2．1．2递推法5例计算行列式5111111111aaaaDaaaaa之值。解：把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式5145411(1)111111aaaDDaaaaaaa继续使用这个递推公式，有443DDa332DDa而初始值221Daa，所以234551Daaaaa例计算行列式1231111nnnaaxaxDaxax之值。解：按第n行展开，有1111(1)(1)nnnnnnnDxDaxDa，从而递推地得到212121(1)(1)nnnnnnnDxDaxDa，232nnnDxDa212Daxa对这些等式分别用1，x,2x,,2nx相乘，然后相加，得到1231231nnnnnnDaxaxaxaxa62.1．3．数学归纳法例证明①111111111111111111110000kkkrkkkrkkkrrrrrkrrraaaabbaaccbbaabbccbb。解我们对k用数学归纳法。当1k时，①的左端为11111111100rrrrracbbcbb按第一行展开，就得到所要的结论。假设①对1km，即左端行列式的左上角是1m级时已经成立，现在来看km的情形，按第一行展开，有1111222121111111121111211100000000mmmmmmmmmrmrrrmrrrrrmrrraaaaaaaaaccbbccbbccbbccbb++212,12,121,1,111111,11,111111,1,110000(1)iimmmimimmiiiimrrririrmrrraaaaaaaaaccccbbccccbb212,11,111111,11111,110000(1)mmmmmmmrrrmrrraaaaaccbbccbb7222212,12,12111121,1,1212,1111111111111,1111(1)(1)miimiimmmmmimimmmrmrmmmmmrrrmmmrrraaaaaaaaaaaaaaaabbaabbaaabbaabb这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。根据归纳