有限元与数值方法-讲稿2

1有限元与数值方法第二讲授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：[e-mail]教室：研究楼351时间：2013年3月22日：8：00-9:35;9:45-10：302固体力学控制方程的基本形式（弹性力学为例）一般方程基本未知数（15）：应力（6）；应变（6）位移（3）基本方程（15）：平衡方程（3），本构方程（6），几何方程（6）边界条件：应力边界条件；位移边界条件位移解法基本未知数：位移分量（3个）基本方程（3）：用位移表示的平衡方程（3）边界条件：应力边界条件；位移边界条件应力解法基本未知数（6）：应力（6）基本方程：平衡方程（3），相容方程（3+3）边界条件：应力边界条件；位移边界条件3基本控制方程：微分方程的边值问题01,2,3ijijfix12jiijjiuuxx,1,2,3ijijklklCijijijij2iiuuuijjint求响应量平衡方程几何方程物理方程（热弹性）（各项同性）,,ijijiu4求解方法及相对应的控制方程：力法：以应力为基本位移量平衡方程：变形协调方程位移法：以位移为基本未知数平衡方程：位移表示的平衡方程对应原理：变分原理微分方程的积分形式，泛函变分与基本方程的对应。建立各种问题所对应的变分原理。总之：固体力学是建立固体变形规律所必需满足的规律以及数学模型。为各种求解策略提供理论基础5求解策略物理模型的简化杆（梁）平面问题平面应力问题，薄板平面应力问题：（很厚）柱体板（壳）发展数值求解策略直接求解方法：差分方法积分形式的控制方程问题：有限元，加权余量等6杆件(包括杆和梁)杆:只在轴向受力梁:考虑弯曲变形)(xqdxduEAdxd)(2222xqdxwdEJdxd几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远小于第三方向尺度;基本假定:垂直于杆件轴线的平断面变形后保持平断面;三维问题简化为一维;无分布力时，杆的变形用线性函数描述即可7平面应力问题0zzyzxz几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远大于第三方向尺度;受力特点:只受到在平面内的力;平面外的应力分量为0;三维问题简化为二维zzzyzyzxxyz00yxxxyyXxyYxy8平面应变问题0zzyzxz几何特点:结构两个方向的尺度相近,但第三方向尺度无穷大;受力特点:受到的力在第三方向是均匀的;平面外的应变分量为0;三维问题简化为二维xyz00yxxxyyXxyYxy9zyxyzq(x,y)几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远大于第三方向尺度;受力特点:只受到在平面外的力;直法线假定;三维问题简化为二维平板弯曲问题23112);,(EhDyxqwD10第三章：数值方法的基本理论力学问题可表示成微分方程的边值问题。因此，力学问题的求解可参照微分方程的求解方法构造。根据问题的不同，可采用微分形式，也可采用积分形式。不同的描述方式，可构造不同的数值方法。计算机最容易处理的是数值计算、求解代数方程。因此，根据弹性力学理论建立的控制微分方程组，需要离散化。所谓离散化是将一个函数用若干点的函数值近似表示。Y=f(x)xyy0y1y2y3y4y5离散化成为数值方法的关键11§3.1有限差分法（FiniteDifferencemethod）1.差分格式：有限差分方法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程的求解转化为代数方程的求解，求得的是待求函数（定义在定义域的每一点）在离散的网格点上的值。为了说明差分方法的思想，先回顾一维问题的差分和微分f(x+h/2)f(x-h/2)f'(x)xx+h/2x-h/2x+hx-hhhxfhxfxf)2/()2/()('2)()(2)()(''hhxfxfhxfxf12§3.1有限差分法（FiniteDifferencemethod）差分近似：考虑一个二维问题。假设：是一物理问题的解，定义在一个矩形区域),(yxf)0,0(byaxa1034567891011122xyhhb为了使用差分法，首先要把所关心的区域剖分为网格，对网格节点给以编号。对于图示的矩形区域，用等距的均匀网格是最容易的13在０点附近沿x轴线上点的函数值如果网格很细密，很小在节点1和3上：分别为和...!31!213003320022000xxxfxxxfxxxfff0xxxhx0hx002220032xfhxfhff02220012xfhxfhff联立求解，可获得：hffxf231020310222hfffxf1034567891011122xyhhb差分近似14同理，沿y方向取点，可得：差分公式：同理，可得到混合二阶偏导数：...2120022000yyyfyyyfffhffyf224020420222hfffyf867527865310024122221ffffhhhffhffyfyfhyfxyxf差分近似1034567891011122xyhhb15同理，可获得更高阶的导数。例如1193104044461fffffhxf差分近似1034567891011122xyhhb''''32'''34''2'2''''241'''61''21'''''32'''34''2'2''''241'''61''21'...''''!41'''!31''!21'040302001104303020030403020090430302001400300200000fhfhfhhffffhhfhfhhffffhfhfhhffffhhfhfhhfffxxfxxfxxfxxfff求解以上4式，得到16同理，可得87654321040224241fffffffffhyxf12104204044461fffffhyf差分近似1034567891011122xyhhb导数的阶次越高，涉及的周围节点数越多以上的格式是中心差分格式17向前差分例如：用，，表示：向后差分：不同的差分方式，对应不同的差分方法0xf0f1f9f''2'2''21'0200902001fhhffffhhfffhfffxf2439100hfffxf243113001034567891011122xyhhab差分近似''2'2''21'02001102003fhhffffhhfff18简单问题gdxdfffxqdxfd04022,)0(),(对下列边值问题建立差分格式hhhh01234物理背景：有热源、包含指定温度和指定热流边界的一维稳态温度场；有分布力作用下的杆的变形19简单问题的解gdxdfffxqdxfd04022,)0(),(hghqffhqfffhqffffhqff02443234322232102121222hhhh01234)(1'),2(1''),2(1''),2(1''),2(1''45443524342232312212021ffhffffhffffhffffhffffhf以上最后一式代入4点处的第2类边界条件，得到一式各式代入1-4点处的微分方程，得到线性方程组405fhgf注意系数矩阵的稀疏性、对称性545fhff20简单问题的解212101212322223433234404222ffqhfqfffqhqfffqhqffqhghq112233442100121001210011fqfqfqfqgdxdfffxqdxfd04022,)0(),(11[]nnnnKfP21简单问题的解102110011112212213314422132232432453424541''(2)1''(2)1''(2)1''(2)1'()ffffKfKfKfKfKfKfhffffhffffhffffhfffh22稳态温度场的控制方程QzTzyTyxTxtTczyx热传导方程为cK)J/(kgzyx,,kmwQ式中，为密度，kg/m3；为比热容，为导热系数，T为温度，℃t为时间，s为内热源密度，w/m3。对于各向同性材料，稳态温度场问题为Poisson方程0zTyTxT222222Q23稳态温度场的差分解考虑一正方形区域内无源的平面稳定温度场，边界上给定温度分布为基本方程（Laplace方程）：02222yTxThyhxThxTyhxThxThyhxTThyxTT3,30,)4(0,30,)4(30,3,30,0,400003h3h81012167241565131491113xy求区域内温度分布以下以一个简单的问题说明差分方法的求解思路边界条件种类：（1）指定温度；（2）指定边界热流；（3）对流24因此，在0点有：在内部各节点均可以建立类似的方程。从而构成一个由节点函数值组成的线性代数方程组。041432102022022TTTTThyTxT0443210TTTTT20310222hTTTxT20420222hTTTyT34021方程的离散以右图中0点为例，该点处导数的差分近似为25边界节点，则需要根据边界条件构造差分方程第一类边界条件：iiTT边界条件处理3h3h81012167241565131491113举例：040404041215324141141310741269231TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT重新排列412154323141143121074211693214444PTTTTTPTTTTTPTTTTTPTTTTT432143214110140110410114PPPPTTTT求解该方程组，即可得到各节点的温度值：04302123TTTTTT26第二类边界条件（给定边界的热流量）的处理此时，0点的方程为：000xqxTnqnT0312xqhTT0312xqhTT0441320TTTTT04320224xqhTTTT边