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第1章《轴对称图形》常考题集（18）：等腰三角形的轴对称性填空题151．（2006•温州）如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S=_________．152．等边三角形的边长为a，则它的周长为_________．153．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=_________度．154．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=_________度．155．（2003•南京）如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是_________cm．156．（2006•天津）如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于_________度．菁优网©2010-2013菁优网157．（2008•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是_________cm2．158．（2002•漳州）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有_________条．159．（2006•嘉兴）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为_________．解答题160．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=_________，且∠DON=_________度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=_________，且∠EON=_________度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_________．161．（2012•天水）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．菁优网©2010-2013菁优网162．（2008•金华）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）163．（2006•济宁）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．164．（2005•成都）已知：如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．165．（2009•余杭区模拟）已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．菁优网©2010-2013菁优网166．（2009•河南）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．167．（2007•乐山）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．168．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上任意一点，且BD=CE，连接DE交BC于F．求证：FD=FE．169．（2003•荆门）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．菁优网©2010-2013菁优网170．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，求证：BM=MN=NC．171．已知△ABC中AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E．已知△BEC的周长是16，求△ABC的周长．172．（2007•太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．174．（2005•安徽）下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：菁优网©2010-2013菁优网学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）175．（2004•泰州）已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．176．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．177．（2002•徐州）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．178．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？179．如图，△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=51°，求∠B、∠C的度数．180．等腰三角形两边长为4cm、6cm，求等腰三角形的周长．菁优网©2010-2013菁优网第1章《轴对称图形》常考题集（18）：等腰三角形的轴对称性参考答案与试题解析填空题151．（2006•温州）如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S=4．考点：平行四边形的性质；等边三角形的性质．2898954专题：压轴题；规律型．分析：根据题意，可以证明S与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S的长相等，高是S3的一半，这样就可以把S1和S3用S来表示，从而计算出S的值．解答：解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°∴AB∥HF∥DC∥GN，设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，∵F、G分别是BC、CE的中点∴BF=MF=AC=BC，CP=PF=AB=BC∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，∴S1=S，S3=2S，∵S1+S3=10∴S+2S=10∴S=4．故答案为4．点评：此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．菁优网©2010-2013菁优网152．等边三角形的边长为a，则它的周长为3a．考点：等边三角形的性质．2898954专题：计算题．分析：等边三角形的边长为a，进而求出它的周长．解答：解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a．故答案为3a．点评：本题利用了等边三角形的三边相等的性质．153．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=30度．考点：等边三角形的性质．2898954专题：几何图形问题．分析：作AB的垂直平分线，再根据等边三角形的性质及全等三角形的性质解答即可．解答：解：作AB的垂直平分线，∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰三角形；∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°；∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD；∴△BDC≌△BDP，所以∠BPD=30°．故应填30°．点评：此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线，再利用等边三角形的性质求解．154．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=120度．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．2898954专题：几何图形问题．分析：根据等边三角形的性质及全等三角形的判定SAS判定△DAC≌△BAE，得出对应角相等，再根据角与角之间的关系得出∠BOC=120°．解答：解：∵△ABD，△ACE都是正三角形∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE（SAS）菁优网©2010-2013菁优网∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°．故填120．点评：此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法等，做题要灵活运用．155．（2003•南京）如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是