2017---2018年高考真题解答题专项训练：数列(文科)学生版

试卷第1页，总2页2017---2018年高考真题解答题专项训练：数列（文科）学生版（1—5题2017年）1．已知等差数列{𝑎𝑛}和等比数列{𝑏𝑛}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求{𝑎𝑛}的通项公式；（Ⅱ）求和：𝑏1+𝑏3+𝑏5+⋯+𝑏2𝑛−1．2．已知{𝑎𝑛}为等差数列，前n项和为𝑆𝑛(𝑛∈𝑁∗)，{𝑏𝑛}是首项为2的等比数列，且公比大于0，𝑏2+𝑏3=12,𝑏3=𝑎4−2𝑎1,𝑆11=11𝑏4.（Ⅰ）求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；（Ⅱ）求数列{𝑎2𝑛𝑏𝑛}的前n项和(𝑛∈𝑁∗).3．已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，等比数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，且𝑎1=−1，𝑏1=1，𝑎2+𝑏2=2.（1）若𝑎3+𝑏3=5，求{𝑏𝑛}的通项公式；（2）若𝑇3=21，求𝑆3.4．设数列na满足123212naanan.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan的前n项和.5．记Sn为等比数列na的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求na的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。（6---11题2018年）6．已知等比数列{an}的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．7．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．8．设{𝑎𝑛}是等差数列，且𝑎1=ln2,𝑎2+𝑎3=5ln2.试卷第2页，总2页（Ⅰ）求{𝑎𝑛}的通项公式；（Ⅱ）求𝑒𝑎1+𝑒𝑎2+⋯+𝑒𝑎𝑛.9．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑛𝑎𝑛+1=2(𝑛+1)𝑎𝑛，设𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑛．（1）求𝑏1 ，  𝑏2 ，  𝑏3；（2）判断数列{𝑏𝑛}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{𝑎𝑛}的通项公式．10．等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1 ，  𝑎5=4𝑎3．（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）记𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前𝑛项和．若𝑆𝑚=63，求𝑚．11．记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1=−7，𝑆3=−15．（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求𝑆𝑛，并求𝑆𝑛的最小值．答案第1页，总8页2017---2018年高考真题解答题专项训练：数列（文科）学生版参考答案1．（1）an=2n−1.（2）3𝑛−12【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为𝑑，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{𝑏𝑛}是等比数列，知{𝑏2𝑛−1}依然是等比数列，并且公比是𝑞2，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以𝑏2𝑛−1=𝑏1𝑞2𝑛−2=3𝑛−1.从而𝑏1+𝑏3+𝑏5+⋯+𝑏2𝑛−1=1+3+32+⋯+3𝑛−1=3𝑛−12.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列×等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.2．（Ⅰ）𝑎𝑛=3𝑛−2.𝑏𝑛=2𝑛.（Ⅱ）(3𝑛−4)2𝑛+2+16.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前𝑛项和公式列方程求出等差数列首项𝑎1和公差𝑑及等比数列的公比𝑞，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}的公比为𝑞.由已知𝑏2+𝑏3=12，得𝑏1(𝑞+𝑞2)=12，而𝑏1=2，所以𝑞2+𝑞−6=0.又因为𝑞0，解得𝑞=2.所以，𝑏𝑛=2𝑛.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总8页由𝑏3=𝑎4−2𝑎1，可得3𝑑−𝑎1=8①.由𝑆11=11𝑏4，可得𝑎1+5𝑑=16②，联立①②，解得𝑎1=1,𝑑=3，由此可得𝑎𝑛=3𝑛−2.所以，{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=3𝑛−2，{𝑏𝑛}的通项公式为𝑏𝑛=2𝑛.（Ⅱ）解：设数列{𝑎2𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，由𝑎2𝑛=6𝑛−2，有𝑇𝑛=4×2+10×22+16×23+⋯+(6𝑛−2)×2𝑛，2𝑇𝑛=4×22+10×23+16×24+⋯+(6𝑛−8)×2𝑛+(6𝑛−2)×2𝑛+1，上述两式相减，得−𝑇𝑛=4×2+6×22+6×23+⋯+6×2𝑛−(6𝑛−2)×2𝑛+1=12×(1−2𝑛)1−2−4−(6𝑛−2)×2𝑛+1=−(3𝑛−4)2𝑛+2−16.得𝑇𝑛=(3𝑛−4)2𝑛+2+16.所以，数列{𝑎2𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和为(3𝑛−4)2𝑛+2+16.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前𝑛项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前𝑛项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.3．（1）𝑏𝑛=2𝑛−1；（2）21或−6.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列{𝑎𝑛}公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}公比为𝑞(𝑞≠0)，由已知条件求出𝑞，再写出通项公式；（2）由𝑇13=13，求出𝑞的值，再求出𝑑的值，求出𝑆5。试题解析：设等差数列{𝑎𝑛}公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}公比为𝑞(𝑞≠0)有(1+𝑑)+𝑞=4，即𝑑+𝑞=3.（1）∵(−1+2𝑑)+𝑞2=5，结合𝑑+𝑞=3得𝑞=2，∴𝑏𝑛=2𝑛−1.（2）∵𝑇3=1+𝑞+𝑞2=13，解得𝑞=−4或3，当𝑞=−4时，𝑑=7，此时𝑆5=5×1+5×42×7=75；当𝑞=3时，𝑑=0，此时𝑆5=5𝑎1=5.答案第3页，总8页4．（1）221n；（2）221nn【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：(1)由题意结合递推公式可得数列的通项公式为221nanNn；(2)裂项求和可得求数列21nan的前n项和是221nn.试题解析：(1)当时,,当时,由,①,②①②得,即,验证符合上式,所以.(2).,.5．（1）2nna；（2）见解析.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q，12a即可求解；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．试题解析：（1）设{}na的公比为q.由题设可得12112{16aqaqq，解得2q，12a.故{}na的通项公式为2nna.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总8页（2）由（1）可得111221133nnnnaqSq.由于321214222212123333nnnnnnnnSSS，故1nS，nS，2nS成等差数列.点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．6．（Ⅰ）𝑞=2（Ⅱ）𝑏𝑛=15−(4𝑛+3)⋅(12)𝑛−2【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列{(𝑏𝑛+1−𝑏𝑛)𝑎𝑛}前n项和求通项，解得𝑏𝑛+1−𝑏𝑛，再通过叠加法以及错位相减法求𝑏𝑛.详解：（Ⅰ）由𝑎4+2是𝑎3,𝑎5的等差中项得𝑎3+𝑎5=2𝑎4+4，所以𝑎3+𝑎4+𝑎5=3𝑎4+4=28，解得𝑎4=8.由𝑎3+𝑎5=20得8(𝑞+1𝑞)=20，因为𝑞1，所以𝑞=2.（Ⅱ）设𝑐𝑛=(𝑏𝑛+1−𝑏𝑛)𝑎𝑛，数列{𝑐𝑛}前n项和为𝑆𝑛.由𝑐𝑛={𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥2.解得𝑐𝑛=4𝑛−1.由（Ⅰ）可知𝑎𝑛=2𝑛−1，所以𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=(4𝑛−1)⋅(12)𝑛−1，故𝑏𝑛−𝑏𝑛−1=(4𝑛−5)⋅(12)𝑛−2,𝑛≥2，𝑏𝑛−𝑏1=(𝑏𝑛−𝑏𝑛−1)+(𝑏𝑛−1−𝑏𝑛−2)+⋯+(𝑏3−𝑏2)+(𝑏2−𝑏1)=(4𝑛−5)⋅(12)𝑛−2+(4𝑛−9)⋅(12)𝑛−3+⋯+7⋅12+3.答案第5页，总8页设𝑇𝑛=3+7⋅12+11⋅(12)2+⋯+(4𝑛−5)⋅(12)𝑛−2,𝑛≥2，12𝑇𝑛=3⋅12+7⋅(12)2+⋯+(4𝑛−9)⋅(12)𝑛−2+(4𝑛−5)⋅(12)𝑛−1所以12𝑇𝑛=3+4⋅12+4⋅(12)2+⋯+4⋅(12)𝑛−2−(4𝑛−5)⋅(12)𝑛−1，因此𝑇𝑛=14−(4𝑛+3)⋅(12)𝑛−2,𝑛≥2，又𝑏1=1，所以𝑏𝑛=15−(4𝑛+3)⋅(12)𝑛−2.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“𝑆𝑛”与“𝑞𝑆𝑛”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“𝑆𝑛−𝑞𝑆𝑛”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.7．(Ⅰ)𝑆𝑛=𝑛(𝑛+1)2，𝑇𝑛=2𝑛−1；(Ⅱ)4.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得𝑞=2，则𝑇𝑛=1−2𝑛1−2=2𝑛−1.结合题意可得等差数列的首项和公差为𝑎1=1,𝑑=1，则其前n项和𝑆𝑛=𝑛(𝑛+1)2.（II）由（I），知𝑇1+𝑇2+⋯+𝑇𝑛=2𝑛+1−𝑛−2.据此可得𝑛2−3𝑛−4=0,解得𝑛=−1（舍），或𝑛=4.则n的值为4.详解：（I）设等比数列{𝑏𝑛}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得𝑞2−𝑞−2=0．因为𝑞0，可得𝑞=2，故𝑏𝑛=2𝑛−1．所以，𝑇𝑛=1−2𝑛1−2=2𝑛−1．设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑．由𝑏4=𝑎3+𝑎5，可