反三角函数与最简三角方程

-1-反三角函数：1、概念：把正弦函数sinyx，,22x时的反函数，称为反正弦函数，记作xyarcsin.注意：sin()yxxR，不存在反函数.2、含义：arcsinx表示一个角；角,22；sinx.3、反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）．符号arcsinx可以理解为[－2，2]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2，2]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）．y＝arcsinx等价于siny＝x,y∈[－2，2],y＝arccosx等价于cosy＝x,x∈[0,π],这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式：sin(arcsinx)＝x,x∈[－1,1],cos(arccosx)＝x,x∈[－1,1],arcsin(sinx)＝x,x∈[－2，2],arccos(cosx)＝x,x∈[0,π]arcsinx＋arccosx＝2,arctanx＋arccotx＝2。名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数xyarcsin1,1增2,2奇函数增函数反余弦函数xyarccos1,1减,0xxarccos)arccos(非奇非偶减函数反正切函数arctanyxR增2,2奇函数增函数反余切函数cotyarcxR减,0cot()cotarcxarcx非奇非偶减函数-2-最简单的三角方程方程方程的解集axsin1aZkakxx,arcsin2|1aZkakxxk,arcsin1|axcos1aZkakxx,arccos2|1aZkakxx,arccos2|tanxa|arctan,xxkakZcotxa|cot,xxkarcakZ其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sinsin，则sin(1)kk；若coscos，则2k；若tantan，则ak；若cotcot，则ak；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。二、典型例题：例1.函数，，的反函数为（）yxxsin232Ayxx.arcsin，，11Byxx.arcsin，，11Cyxx.arcsin，，11Dyxx.arcsin，，11例2.函数，，的图象为（）yxxarccos(cos)22-3-22-2-2O2O2-2（A）（B）11-2-2O2O2-1（C）（D）例3.函数，，的值域为（）yxxarccos(sin)()323AB..656056，，CD..323623，，例4.使arcsinarccosxx成立的x的取值范围是()AB..022221，，CD..12210，，例5.若，则（）022arcsincos()arccossin()ABCD....222222例6.求值：(1)3sin2arcsin5(2)11tanarccos23分析：arcsin()arcsin()sin352235表示，上的角，若设，则易得352，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。-4-例7.画出下列函数的图像（1）)arcsin(sinxy（2）]1,1[),sin(arccosxxy例8.已知)23,(,135sin),2,0(,2572cos求（用反三角函数表示）分析：可求的某一三角函数值，再根据的范围，利用反三角函数表示角。例9.已知函数2()arccos()fxxx（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)fxfx-5-例10.写出下列三角方程的解集(1)2sin()82x;(2)2cos310x;(3)cot3x例11.求方程tan(3)34x在0,2上的解集.例12.解方程22sin3cos10xx例13.解方程①3sin2cos0xx-6-②222sin3sincos2cos0xxxx例14.解方程：(1)3sin2cos21xx(2)5sin312cos36.5xx思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程例15.解方程22sin3cos0xx．例16.解方程：tan()tan()2cot44xxx例17.已知方程sin3cos0xxa在区间0,2上有且只有两个不同的解，求实数a的取值范围。-7-[说明]对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（1）sinsin，则2k或2,kkZ；（2）coscos，则2k或2,kkZ；（3）tantan，则,kkZ．参考答案：典型例题:例1.分析与解：232xxx22，，需把角转化至主值区间。22xxxy，又sin()sin由反正弦函数定义，得xyarcsinxyyarcsin，又由已知得11所求反函数为，，yxxarcsin11例2.分析与解：解析式可化简为，，，，yxxxxxarccos(cos)0220即，，，，显然其图象应为（）yxxxxA0220例3.分析与解：欲求函数值域，需先求，，的值域。uxxsin()323-8-323321321xxu，，即sin而在，上为减函数yuarccos11arccos()arccosarccos321u即，故选（）056yB例4.分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把x从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。若，则，，而，xxx0202arcsinarccos此时不成立，故arcsinarccosxxx0若，则，，，xxx00202arcsinarccos而在区间，上为增函数yxsin02又arcsinarccossin(arcsin)sin(arccos)xxxx即，解不等式，得xxx1222||又，故选（）01221xxB例5.分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。arcsincos()arcsin(sin)arcsin(sin)2arccossin()arccos(sin)arccos(sin)arccoscos()(),222原式，故选（）()()22A-9-例6.解：（）设，则13535arcsin()sin221452，，cossinsinsincos()()22235452425即sinarcsin()2352425（）设，则21313arccoscos012232，sincostg2111322322cossin即tg121322arccos例7.(1)函数是以2为周期的周期函数当]2,2[x时，xx)arcsin(sin当]23,2[x时，xx)arcsin(sin其图像是折线，如图所示：(2)∵],0[arccosx∴)1(1)(arccoscos122xxxy其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例8.解：∵)2,0(∴54cos,5322cos1sin又∵)23,(∴13122sin1cos6556)135(54)1312(53sincoscossin)sin(∵2253sin),2,0(∴40又∵),23,(,135sin∴135arcsin又∵4135arcsin0∴45∴23yx-10-从而6556arcsin讲评：由题设)23,(),2,0(，得)2,(由计算6556)sin(∴6556arcsin26556arcsin或，但,是确定的角，因而的值也是唯一确定的。所以必须确定所在的象限，在以上的解法中，由,的范围，再根据cos,sin的值，进一步得到)45,(),4,0(从而确定)23,(，故得出正确的答案：6556arcsin例9.解：（1）由112xx得251251x又]1,41[41)21(22xxx∴)(xf的定义域为]251,251[，值域为]41arccos,0[又∵]21,251[x时，xxxg2)(单调递减，xyarccos单调递减，从而)(xf递增∴)(xf的单调递增区间是]21,251[，同理)(xf的单调递减区间是]251,21[（2）)]212()212arccos[()arccos()212()(22xxxxxfxf即即)414arccos()arccos(22xxx∴41414141112222xxxxxx解不等式组得6121x∴不等式的解集为)61,21(例10.-11-解集{x|x=(kπ+arctg3)2，k∈Z}例11.说明如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解．例12.解：方程化为22cos3cos30xx说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解．例13.②除以cos2x化为2tg2x-3tgx-2=0．说明关于sinx，cosx的齐次方程的解法：方程两边都除cosnx(n=1，2，3，…)(∵cosx=0不是方程的解)，转化为关于tgx的方程来解．例14.思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程-12-2x-30°=k180°+(-1)k30°∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k∈Z)所以解集是{x|x=k90°+(-1)k15°+15°，k∈Z}于是x=k60°+(-1)k10°+22°38′，(k∈Z)∴原方程的解集为{x|x=k60