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第一部分高考专题串串讲第一版块专题知识突破专题四立体几何考情分析真题体验第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积知识方法考点串联高频考点聚焦突破多维探究师生共研考情分析·真题体验明确备考方向实战高考真题考情剖析三视图几乎是每年必考的内容之一，难度中等及以下，一是考查识图(由直观图判断三视图或由三视图想象直观图)；二是以三视图为载体考查面积、体积的计算.真题感悟1.(2014·陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π解析依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为1，母线长也为1，因此其侧面积为2π×1×1＝2π，故选C.答案C2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方面看均不可能是三角形，所以选A.答案A3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2解析将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解．该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm,4cm,5cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm2)．答案D4．(2014·辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V＝13·π·22·2＋π·12·4＝8π3＋4π＝20π3.答案203π5．(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1S2＝94，则V1V2的值是________．解析设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，h1h2＝r2r1.又S1S2＝πr21πr22＝94，所以r1r2＝32，则V1V2＝πr21h1πr22h2＝r21r22·h1h2＝r1r2＝32.答案32知识方法·考点串联连点串线成面构建知识体系1．空间几何体的结构特征(1)棱柱的结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行．(2)棱锥的结构特征：棱锥底面是多边形，侧面都是有一个公共点的三角形．(3)棱台的结构特征：两底面是两个相互平行且相似的多边形，侧棱的延长线相交于一点，侧面是梯形．(4)将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆柱，这条直线叫做轴；将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥，这条直线叫做轴；将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台，这条直线叫做轴；半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做球．半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．2．三视图有如下一些规则：(1)三视图的正(主)视图、俯视图、侧(左)视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓的正投影围成的平面图形．任意一个物体的长、宽、高，一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离．(2)一个物体的三视图的排列规则是，俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说“长对正、高平齐、宽相等”或“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”．3．画立体图形的直观图的要求不高，只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可．4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)体积公式①柱体的体积V＝Sh；②锥体的体积V＝13Sh；③台体的体积V＝13(S′＋SS′＋S)h；④球的体积V＝43πR3.高频考点·聚焦突破热点题型剖析构建方法体系考点一空间几何体的三视图【例1】(1)(2014·江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大是()A．43B．8C．47D．83课堂笔记(1)根据三视图的概念，直接观察求解即可．该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.(2)由三视图可知该几何体是底面为正三角形BCD，棱AD垂直底面BCD的三棱锥(如图所示)．其中AD＝4，BD＝4，取BC的中点F，连接AF，DF，则DF＝23，AF＝AD2＋DF2＝42＋232＝27，所以△ABC的面积为12×4×27＝47，显然△ABC的面积最大，选C.答案(1)B(2)C[方法规律]分析空间几何体的三视图的要点是(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的形状，即可得到结果.对点训练1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析如图，几何体为三棱柱．答案B2．(2013·课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．答案A考点二空间几何体的表面积与体积【例2】(1)(2014·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－π2D．8－π4(2)(2014·课标全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A．3B.32C．1D.32课堂笔记(1)根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－14×π×12×2×2＝8－π.(2)根据题意画出图形，再由棱锥的体积公式直接求解．在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝32AB＝3，S△DB1C1＝12×2×3＝3.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．∴V三棱锥A－B1DC1＝13S△DB1C1·AD＝13×3×3＝1.答案(1)B(2)C[方法规律](1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．对点训练3.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B.143C.163D．6解析由三视图可知，四棱台上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2，故由台体的体积公式知V＝13(S1＋S1S2＋S2)h＝13×(1＋4＋1×4)×2＝143.答案B4．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54B．60C．66D．70解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为12×(2＋5)×4＝14，计算可得A1P＝5，直角梯形BCC1P的面积为12×(2＋5)×5＝352.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为12×5×3＝152.又Rt△ABC的面积为12×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1的表面积为14＋352＋152＋6＋15＝60.答案B考点三多面体与球【例3】如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，那么球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3课堂笔记如图所示，设球的半径为Rcm，由图可知，正方体的上底面与球相交得的截面为圆，半径为4cm，设球心为O，截面圆圆心为M，与正方体底面的一个切点为A，则OA＝R，MA＝4cm，由水深为6cm，知OM＝R－(8－6)＝(R－2)cm，由OM2＋MA2＝OA2，即(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5cm，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝5003π(cm3)．答案A[方法规律]涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.对点训练5.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4解析如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(2)2＝r2，解得r＝94，∴该球的表面积为4πr2＝4π×942＝814π.答案A6．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310解析由球心O作平面ABC的垂线，垂足M落在直角△ABC斜边BC的中点，AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球的半径OA＝522＋62＝132.答案C多维探究·师生共研知识融合交汇搭建高分平台探究一空间几何体中体积的创新题型求空间几何体的体积一直是考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．【典例1】如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？[规范解答]如图1所示的△ABC中，设BD＝x(0x3)，则CD＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.由折起前AD⊥BC知，折起后(如图2)，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.又因为∠BDC＝90°，所以S△BCD＝12BD·CD＝12x(3－x)．于是VA－BCD＝13AD·S△BCD＝13(3－x)·12x·(3－x)．VA－BCD＝16(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝16(x3－6x2＋9x)，由f′(x)＝12(x－1)(x－3)＝0，且0x3，解得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,3)时，f′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值，即BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．[名师点评]解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积