奇异积分

2.2.4奇异积分在分析学中,基本问题之一就是用具有一定性质的函数,一般用比f性质较好的函数,在这种或那种意义下去逼近给定的函数f.我们希望借助于给定的f自身进行某种光滑运算去构造具有较好性质的函数.我们在研究傅立叶级数求和过程中就用到了奇异卷积积分去逼近f,这在研究中具有特殊的意义.首先给出卷积积分定义:给定2cf,称形如duuuxfxfnn)()(21))((的卷积积分为奇异积分,如果序列1)(nnx是(周期)核,具体说如果对每个.2)(,,12duuLnnn且这样的序列如果还满足:对所有的,0)(,0,,lim1unnnduuMn并且对每个称它为逼近恒同核.奇异积分理论与傅里叶级数理论是密切相关的，函数f的傅里叶级数前n项部分和可以写成具有Dirichlet核的奇异积分，而这些部分和的算术平均序列又构成具有Fejer核的卷积积分，Fejer核是逼近恒同的，Dirichlet核则不是。取第一次算术平均的方法就是周知的f的傅里叶级数Cesaro求和。定义2.2.1设为参数，取值于某个集合，后者或是一个区间),(ba，ba0，或是集，并设0为a或b。我们称函数集)(x为周期核，如果对每一个，12L,具有)(,2)(-u如果)(x为实函数，核)(x称为实的；如果2L，称为有界的；如果2C称为连续，如果为绝对连续的（对每一个）则称为绝对连续的。实核)(x称为偶的，如果)()(xx几乎处处成立；如果0)(x几乎处处成立（对每一个），称为正的。定义2.2.2设)X(2f，)(x为核，称duuuxfxfxfI-)()(21))((),(（2.2.6）为（周期）奇异积分（或卷积积分）。如果相应的核是正的，连续的，则称奇异积分是正的，连续的。定理2.2.9若积分（2.2.6）的核是逼近恒同的，则对每一个2Xf有0)(lim2XfxI（2.2.7）为研究12Lf的傅里叶级数的收敛性，我们考虑它们的部分和。记dukxkukxkuufxSnkn]sinsincoscos21[)(1)(1-duuxkufnk])(cos21[)(211-因nknkxx1cos21)(Djjxnjxxxn,2122,2sin2)12(sin得duuDuxfxSnn-)()(21)(（2.2.8）据（2.2.7）与定义2.2.1，函数)(xDn定义了具有参数n与0的核。称)(xDn为Dirichlet核，而对应的奇异积分（2.2.8），即f的傅里叶级数前n项和，称为Dirichlet奇异积分。下证Dirichlet核不是逼近恒同核：命题1若定义1nnDL为（傅里叶级数的）Lebesgue常数，则)(),1(log42nOnLn（2.2.9）其证明过程如下duuunLn-2sin)2)12((sin10-)1(2cotsin1cos2cotsin1Oduunudunuunu因函数uucot1对于2u是有界的，我们有0-)1(12cot21sin2sin2OduuunuduunuLnnnknknnnknknkOduunknuOduunuduunknuOduunu011110010)1()1()(1sin2)1(sin2)(sin2)1(sin2但根据不等式1111...211)(11...3121nknununknn对nu0成立，得到11)1(log)(1nkOnnunk如果我们用（第一）算术（或Fejer）平均nkknxSnx0)(11)(（2.2.9）duuDnuxfnkk0-)(11)(21代替f的傅里叶级数部分和)(Sxn情况有很大不同。利用nknnxDnxF0)(11)(（2.2.10）jjxnjxxxnnkxnknk2,12,2sin2)1(sin1cos)11(2121我们有duuFuxfxnn-)()(21)(（2.2.11）这是f的Fejer奇异积分，我们称)(xFn为Fejer核；它具有参数n与0的偶的，正的且连续的核，而且)(xFn是满足)0(,0)(suplim0uu的逼近恒同核，因为对任一固定的0，)2(sin)1(1)(sup2nxFnx并且可得到这样一个推论：若，2Xf则22XX)(fxn且有0)(lim2Xfxnn2.5傅里叶级数的可和性傅里叶级数作为级数的一种，具有级数的通性，其中包括连续性、收敛性的讨论，还有可和性的讨论，那么作为一般级数来说，我们讨论的可和性就有两种，那就是Cauchy意义下的可和还有W-可和（W表示为魏尔斯特拉斯意义下），这两种可和性在某种程度上有很大的关联性。首先给出Cauchy可和、W-可和的定义。Cauchy可和：SSnnlim；W-可和)limlim(21nnnnSSS。事实上，W-可和是Cauchy可和的正则推广，即级数的W-可和具有扩张性；级数的W-可和具有完全正则性，即级数在Cauchy意义下发散到无穷，在W意义下也发散到无穷；级数的W-可和是以Cauchy收敛为条件的。这里需要注意的是：若级数附一绝对可和,则级数一定是W一可和；级数W一可和,则级数未必W一绝对可和。傅里叶级数在具备以上两种可和性的基础上，又有哪些独到的性质呢？通过整理资料我们发现，由于三角级数的特殊优势，傅里叶级数在可和性方面确有不同之处。我们上面介绍了奇异积分，在这个计算方法中我们又有一种可和性的讨论，下面即为我们要介绍的—可和。因为Diriechlet核不能构成一个逼近恒同核，所以定理2.2.9不能保证f的傅里叶级数部分和依范数收敛于f。但是这个定理能够应用于傅里叶级数的第一算术平均，因为后者提供了核为逼近恒同的奇异积分。为导出某种广义的范数的收敛性，应多着重于傅里叶级数的可和性，这里不去处理一般序列与级数的求和法，而仅考虑傅里叶级数在下述意义下的问题：设为参数集且，称)(k为因子，若对每个，)(k为上的实函数，满足)()(,1)0(,)(1kkLk，（2.5.1）注意，若,,0n我们可以把数)(k排列成具有行参数n的无穷矩阵)(k。对12Lf我们可以作f的是傅里叶级数的的平均kxbkxakaxUkkksincos)(21)(10（2.5.2）由于1L且傅里叶系数均以1f为界，所以（2.5.2)右边的级数绝对且关于x一致收敛，这样对每个就定义了一个函数2)(CxU。如果一开始用傅里叶级数的傅里叶级数的复形式，任得到相同的)(xU，因为是上的偶函数，于是-)()(kikxkeCkxU将kkba,分别代入上式则得dukukuxfxUk1-cos)(21)(21)(duuCuxf)()(21-其中1cos)(21)(kkxkxC由于级数一致收敛，则)(xU的代入式中，交换积分顺序和求和次序是可以的。如果12Lf的傅里叶级数的平均)(xU当0时依某种意义收敛于某一极限，并且在傅里叶级数已通常意义下收敛的情形，这个极限和通常级数和相一致，我们便称)(k为关于所考虑的极限概念的收敛因子。则称由定义了一种求和方法，我们说傅里叶级数是可和的，并且称这个极限为和。